2017 Fiscal Year Research-status Report
A study of Levy type processes via Dirichlet forms
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17K05309
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| Research Institution | 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群) |
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Principal Investigator |
土田 兼治 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群), 総合教育学群, 講師 (80466523)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | マルコフ過程 / レヴィ過程 / 大偏差原理 / シュレディンガー作用素 / 加法的汎関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Z.-Q.Chen氏との共同研究において、対称レヴィ型過程の中で指数が変動する対称安定型過程、相対論的安定型過程を含むマルコフ過程に対する拡張されたディリクレ空間からそのグリーン緊密な加藤クラスの測度から作られる２乗可積分な関数空間への埋め込みがコンパクトであることを証明することができた。このことより、このような対称レヴィ型過程に関するシュレディンガー作用素に関する調和関数を構成することが可能となった。この結果の応用としてスペクトル関数の微分可能性を証明することができた。
同じ研究の中で、かなり一般的な設定で加法的汎関数の大偏差原理を証明することができた。具体的にはルジン空間上の対称ボレル右過程と呼ばれるマルコフ過程のクラスにおいて、連続型加法的汎関数と不連続型加法的汎関数の結合過程の大偏差原理を証明することができた。ルジン空間上の対称ボレル右過程には準正則ディリクレ形式が１対１に対応するので、ディリクレ形式の理論を用いて証明を行なった。今までの加法的汎関数の大偏差原理は比較的低い次元のユークリッド空間上の対称マルコフ過程でしか証明できていなかったが、ルジン空間はユークリッド空間を含んでいて、さらにこの研究では次元に依存しない形で証明したので、基礎となるマルコフ過程のクラスはかなり広がった。また不連続型加法的汎関数を構成する関数のクラスが今まではかなり制限されたクラスであったが、本研究においてグリーン緊密な加藤クラスにだけ関連するクラスに拡張することができた。ルジン空間は無限次元空間の場合も含むので無限次元空間上のマルコフ過程の場合の研究にも道が開けてきたことがわかった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究では、対称レヴィ型過程の解析を目標としているが、現在までにかなり多くの場合を含むようなレヴィ型過程に対してのシュレディンガー作用素の固有関数の挙動、埋め込みのコンパクト性、加法的汎関数の大偏差原理が証明できた。特に、当初目的とした埋め込みのコンパクト性については、フェラー性などマルコフ過程のよい性質を用いず、レヴィ型過程を特徴づけるレヴィ核だけの条件だけで証明できたので、広いクラスのレヴィ型過程に対して証明することができたのは当初の予想より進んだ結果を得た。
また加法的汎関数の大偏差原理に関しては、予想をはるかに超えた設定で証明することができた。当初はユークリッド空間上のレヴィ型過程だけを考えていたが、それをはるかに超えた無限次元空間やリーマン多様体なども含むルジン空間上のレヴィ型だけではなく、一般の対称マルコフ過程で証明できたのは予想以上であった。また、連続だけではなく不連続な加法的汎関数も込める形で結果を得ることができた。そして、それらの結果をまとめて論文にしジャーナルに投稿することができた。
また、再帰的な相対論的安定過程に対するシュレディンガー作用素の臨界性の議論も少し研究が進んだ。再帰的な場合はグリーン関数が存在しないので、シュレディンガー作用素の臨界性の研究は非再帰的な場合と比べて難しいが、対称安定過程で得られている結果と有界領域上の臨界性の議論を用いて調和関数の構成を考えることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
一つ目は再帰的なレヴィ型過程に対するシュレディンガー作用素の臨界性の研究を行なっていく。まず相対論的安定過程に対する今まで得ている結果をまとめる。次に、非局所的な摂動を加えた場合のシュレディンガー作用素の臨界性の研究を行う。そして、一般的なレヴィ型過程に対するシュレディンガー作用素の臨界性の研究を行う。
二つ目はこれまでは有界変動な加法的汎関数の大偏差原理だけを扱ってきたが、有界変動でない加法的汎関数の大偏差原理の研究を始める。これは有界変動ではないある加法的汎関数に関するファインマン・カッツ半群の可積分性、スペクトル半径のp乗可積分空間に対する独立性などの先行研究を用いながら研究していく予定である。まずはこのファインマン・カッツ半群に対するスペクトル関数の微分可能性を証明しゲルトナー・エリスの定理を用いて大偏差原理を証明することを目標とする。次に、今まで得てきたように一般的な設定において結合された加法的汎関数の大偏差原理を証明する。
一般的な設定で加法的汎関数の大偏差原理が証明された後、収束の速さを決定する大偏差原理のレート関数の性質について研究を行う。そのことにより基礎となるレヴィ型過程の挙動の性質が得られるのではないかと考えている。例えば、レヴィ核からレヴィ型過程の訪問しやすい集合などの特徴を知ることができるのではないかと予想している。
最後に再帰的な一般的なレヴィ型過程に関するシュレディンガー作用素の調和関数の構成、その性質について研究していく。
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| Causes of Carryover |
本年度は研究集会を開催したが、予想よりも旅費申請が少なく、旅費の支出が少なかった。また、購入したい図書がそれほど多くなかったため物品費が少なくなった。
次年度は研究集会に参加するためと、自身で開催するために旅費を使用する。また、共同研究を行うために研究者を招聘またはその研究者を訪問するために旅費を使用する。
物品費としては研究遂行のために図書を購入する。特に新たに発刊された図書で研究に重要と思われるものを中心に購入することを検討している。また計算機を用いて数値計算も行いたいので、パソコンの購入も検討している。
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Research Products
(3 results)
