2020 Fiscal Year Research-status Report
A study of Levy type processes via Dirichlet forms
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17K05309
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| Research Institution | 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群) |
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Principal Investigator |
土田 兼治 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群), 総合教育学群, 准教授 (80466523)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 対称マルコフ過程 / スペクトル関数 / レヴィ型確率過程 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、前年度に証明したグリーン緊密性をもつ対称マルコフ過程から生成されるスペクトル関数の微分可能性について具体的な例の構成を行った。これは本学大学院生の陰山塁氏との共同研究である。ユークリッド空間上のブラウン運動や対称安定過程のようなグリーン緊密性を持たない対称マルコフ過程の場合、グリーン緊密的な加藤クラスの測度をポテンシャルにもつスペクトル関数の微分可能性は、比較的低次元な対称マルコフ過程でしか成り立たないが、非再帰的なグリーン緊密性をもつ対称マルコフ過程の場合は、その状態空間の次元によらず常にスペクトル関数の微分可能性が成立する。グリーン緊密性を満たす対称マルコフ過程の具体例を構成し、そのスペクトル関数の微分可能性が成り立つことを確認した。また、この結果を用いて自動的に導かれる加法汎関数の大偏差原理についても研究した。
次に、対称マルコフ過程から生成される測度値マルコフ過程の基本的事項を確認し、その解析学的側面を研究するための準備を行なった。測度値マルコフ過程を用いて、さらに細かいポテンシャル論的、解析学的問題解決への道筋を確認することができた。
最後に、以前から研究中の再帰的な対称マルコフ過程に対するシュレディンガー作用素の臨界性についての研究も行い、非局所的なポテンシャルをもつレヴィ型過程に対する調和関数の構成について研究した。これによりすべての種類の加法汎関数に対応するポテンシャルを考えることが可能となることがわかった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
新型コロナウィルス感染防止のため、様々な新規業務が積み重なり、今年度中に投稿を考えていたグリーン緊密性をもつ対称マルコフ過程のスペクトル関数の微分可能性に関する論文をまとめ上げ、それを投稿するまでに至らなかった。具体例についてもさらに良い例があると期待しているが、そこまで研究を進展させることができなかった。しかし、測度値マルコフ過程の研究準備をしているときに、レヴィ型確率過程を新しい側面から見ることができることに気づき、これからの研究の動機付けとなったのが幸いであった。
一般的なレヴィ型確率過程に対するシュレディンガー作用素の臨界性については、考える方向性を知ることができた。非局所的なポテンシャルの場合については、予定通り議論が進んだと考えている。非有界変動をもつ加法汎関数に対応するポテンシャルを持つ場合については思ったよりも研究が進まなかったのが残念である。次年度はこの部分をしっかりと研究していきたいと考えている。
この一年で新型コロナウィルス感染防止のための様々な業務についての多くの蓄積ができてきたので、次年度からはこの蓄積や経験を生かして、多くの研究の時間がとれると考えている。そして、レヴィ型確率過程から生成される一般的なシュレディンガー作用素と測度値マルコフ過程の解析学的側面を研究し、また確率論的に非線形シュレディンガー方程式の解の構造と漸近挙動についての研究を進めていきたいと考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
グリーン緊密性をもつスペクトル関数の微分可能性の結果と、レヴィ型確率過程に関する一般的なポテンシャルをもつ場合のシュレディンガー作用素における臨界性についての結果を論文にまとめ投稿する予定である。また、レヴィ型確率過程に対するシュレディンガー作用素について得られた知見の物理学的応用を研究していく。
それらと並行して、測度値マルコフ過程の解析学的側面を研究する。測度値マルコフ過程は通常のユークリッド空間などの状態空間をもつマルコフ過程よりある意味でさらに細かい性質が見えることがあるので、そのことを意識しながら、レヴィ型確率過程に対応する測度値マルコフ過程の挙動についての研究を進めていく。また、ディリクレ形式を用いてレヴィ型確率過程から生成される測度値マルコフ過程について研究を行い、非線形シュレディンガー方程式の解の確率論的意味と通常の対称マルコフ過程のさらに詳しい漸近挙動を研究していきたいと考えている。そのために、まずはわかりやすい例を見出し、それを発展させていくことによって研究を進めていきたい。
令和２年度は新型コロナウィルス蔓延のため思ったように研究が進まなかったが、当該年度で得られたさまざまな知見や対応策を十分に利用して、やや遅れた研究を取り戻していきたいと考えている。そのため、現在オンラインで開催されている様々な研究会に参加し、最新の研究成果や自身の研究の方向性を常時探っていきたいと考えている。
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| Causes of Carryover |
本年度は前年度の終わりから発生した新型コロナウィルス蔓延のために研究集会などを開催することができず、出張もほとんどすることができなかった。また、通常業務も新型コロナウィルス対策のために様々なことが大幅に変更となり、そのためかえって業務が煩雑となり、研究時間が取れないなどの問題が生じた。そのような事情により、研究費を当初予定していたように使用することができなかった。
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