A study of Levy type processes via Dirichlet forms

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 17K05309
• Research Institution: 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群)
• Principal Investigator: 土田 兼治 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群), 総合教育学群, 准教授 (80466523)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 対称マルコフ過程 / レヴィ型過程 / 測度値マルコフ過程

Outline of Annual Research Achievements

本年度は、第一に飛躍型加法汎関数に関する対称マルコフ過程の臨界性の研究のための準備として、加法汎関数の性質について詳しく研究した。加法汎関数に対応する滑らかな測度の性質に着目して、ポテンシャル論において知られた結果を用いて、いくつかの補題を証明した。さらに、飛躍型加法汎関数を局所的な議論に帰着するための確率解析学的な事実に着目して、本対象に適用可能であることを確認した。
次に、時間的に対して飛躍がある対称レヴィ型過程の道の構造に関する研究を行った。このようなマルコフ過程のポテンシャル論的性質はまだまだ未知な部分が多く、ディリクレ形式の議論を発展させながら、いくつかの事実を得た。
さて、対称マルコフ過程とディリクレ形式について見直すために本年度はその二つの対象の融合に関する勉強会を共同研究者達と始めた。ディリクレ形式(定義、ポテンシャル論との関係、マルコフ過程に対応させるための変換操作など)、マルコフ過程(フィルターの構成、除外集合、超過関数、細位相など)に関する事実の見直しを行い、まだ残っている問題点などをいくつか確認した。この勉強会は研究テーマを見直す上で大変有意義であり、次年度以降も続けていく予定である。
最後に、前年度以前から続けている測度値マルコフ過程の解析学的側面の研究を行った。本年度は、主に基礎となるマルコフ過程がかなり一般的なものでも測度値マルコフ過程が構成できることを確認し、非線形方程式への応用についての知見をいくつか得た。特に、基礎となるマルコフ過程の性質がどれほど測度値の場合に影響を与えるのかを中心に研究を行った。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

本年度も昨年度と同様に新型コロナウィルス感染防止のため、研究遂行上さまざまな障害があった。行動制限のため専門家と研究集会などで直接会って議論をすることがほぼできなかったことと、講義などの特別な新規業務が積み重なり、予定していた研究が遅れている。
しかし、対称マルコフ過程の勉強会を始めたことにより、研究テーマの一つであるレヴィ型確率過程への応用を思いついたのが一つの収穫であった。さらに、ディリクレ形式と対称マルコフ過程の先人たちの研究成果を見直すことにより、現在考えている問題の別な側面を発見することができ、これからの研究の糧となると考える。
また、本年度ではオンラインの研究集会でレヴィ型確率過程の新しい例を知ることができたのが、研究を進める一つの動機づけとなり、大変有意義であった。
測度値マルコフ過程に対しては、具体例で解析学的な問題の解決していく予定であったが、かなり一般的なマルコフ過程を基礎過程としてもつ測度値マルコフ過程が構成できることを確認することに留まったのが残念であった。
レヴィ型過程に関する研究に対しては、対応する飛躍型加法汎関数に関する臨界性のいくつかの事実についての結果は得られたが、示したい部分までは到達できなかった。
以上、ある程度は研究は進んでいるが、予定していたより研究が進まなかったので、「(3) やや遅れている」としたが、本年度の作業によって、ある程度雑務もまとまり、新型コロナウィルス感染防止対策も進んでいったので、次年度からは通常通り研究を推進していきたいと考えている。

Strategy for Future Research Activity

次年度は、まず本年度に予定していたレヴィ型確率過程の物理学的応用の研究をしていく。通常の拡散過程とは異なる様相を見せると思うので、それを意識して研究を進めていく。
次に、測度値マルコフ過程の具体例を構成して、それから誘導される(非線形の)ポテンシャル論的対象を研究する。前年度までに得られた知見を用いて、未解決の問題に対しての研究を行う。
それと平行して、対称レヴィ型過程から生成される飛躍型加法汎関数の臨界性の判定条件と連続型加法汎関数の研究で得られた臨界性に関する知見を応用して研究を行っていく。
最後に、今年度から開始したマルコフ過程の勉強会を次年度も継続し、過去の研究結果を見直すことにより、今後の研究に影響を及ぼす可能性のあるテーマを探っていく。そして、本研究をさらに発展させていくことを意識して、勉強会を進めていく。
令和３年度も新型コロナウィルス蔓延のために、いろいろ研究活動が制限されてきたが、過去2年の新型コロナウィルスに対応するために得られたさまざまな知見、結果を用いて、次年度は通常に近い研究環境が構築できると考えているので、過去2年の遅れを取り戻し、本研究テーマをさらに発展させていきたいと考えている。

Causes of Carryover

前年度と同様、新型コロナウィルス蔓延のため出席を考えていた研究集会が中止となり、その分の予算が余ってしまった。