2018 Fiscal Year Research-status Report
Research on the Moebius energy by analytic method
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17K05310
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| Research Institution | Saitama University |
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Principal Investigator |
長澤 壯之 埼玉大学, 理工学研究科, 教授 (70202223)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | メビウス・エネルギー / O'Haraエネルギー / 分解エネルギー / 余弦公式 / 等周不等式 / 補間不等式 / 曲率流 / 凸化 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
メビウス・エネルギーの名前はエネルギーがメビウス変換によって不変である事に由来する。エネルギー密度はメビウス不変でないにも関わらずその積分量がメビウス不変になる事は、一見すると驚くべき事実である。メビウス不変性が示されてから数年後、Doyle-Schrammにより、エネルギーがメビウス不変な被積分関数の積分として表される事が示された。共形角の余弦が用いられるので、余弦公式と呼ばれる。
今年度の研究では、一般化されたO'Haraエネルギーはメビウス不変とは限らないのであるが、同様の余弦公式を持つ事を示した。メビウス不変でない事は、適当な結び目に対して、メビウス変換前後のエネルギーを比較して、それらが等しくならない事を確認すればよい。しかし、それではエネルギーが「メビウス不変性からどれくらい離れているか」を見る事が出来ない。ここで得られた余弦公式から、それを定量的にみる事が出来て、メビウス・エネルギーの特殊性が明瞭に読み取れるものとなっている。
その他に、平面閉曲線の等周比を用いてGagliardo-Nirenberg不等式を特殊化した補間不等式を証明した。これより、面積一定や全長一定の幾何学的な制約条件化での曲率流の大域解の挙動を詳細に調べ事が出来た。特に、初期時刻で凸でない閉曲線が有限時刻で凸化するかという問題に完全な解答を与えた。
昨年度に投稿した一般化O'Haraエネルギーの分解定理に関する論文の査読が完了していない。
今年度は、メビウス・エネルギーのメビウス不変な離散化に関する論文を2篇、平面閉曲線の等周比を用いた補間不等式とその応用に関する論文を1篇投稿したが、年度内に査読は終わっていない。
更に、結び目のエネルギーに関する書籍の一つの章(査読あり)を担当した。執筆は前年度以前であったが、それが今年度になってようやく出版された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
メビウス・エネルギーの特殊性を明確化するために、O'Haraエネルギーについての研究を昨年度から行っている。分解定理や余弦定理などメビウス・エネルギーについて知られた事実がO'Haraエネルギーについてどうなるかを考察し、それにより、メビウス・エネルギー固有の性質を引き出すことが目的である。また、勾配流などを離散近似し解析する目的で、メビウス・エネルギーの離散化を試み、メビウス不変性という構造を保ったままの離散化が可能である事を示した。
勾配流の漸近解析には、さまざまな関数不等式が必要となる。既知の不等式のままではなく、問題に特化して不等式を特殊化する事でより詳細な解析が可能となりうる。今年度は平面閉曲線に関して、既知の不等式を特化し、制約条件付き曲率流の詳細な大域解析を行った。
これらの結果を3編の論文にまとめ投稿した。昨年度と今年度に合わせて4編の論文を投稿し査読結果を待っていることになる。更にO'Haraエネルギーの余弦公式に関する論文を作成しているが年度内には完成しなかった。また、これまで研究成果を纏めた書籍(査読付き)が出版されたが、執筆は前年度以前に作成したものである。今年度中に学術誌に出版された論文は無いものの、査読付きの書籍が出版されたこと、複数の論文を投稿できたこと、更に1篇の論文を準備中であることから、研究はおおむね順調に進展していると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
メビウス・エネルギーに拘らずO'Haraエネルギー全般に関する研究とメビウス・エネルギーに特化した研究の双方を進める。
これまでにO'Haraエネルギーに得た研究成果は、O'Haraの(α,1)-エネルギーについてである。メビウス・エネルギーは(2,1)-エネルギーであるので、初めの指数を一般化したものと言える。pでない場合の(α,p)-エネルギーについての解析的な手法による研究は多くない。これまでに得た研究成果がpが1でない場合に一般化できるか、あるいはpが1である特殊性によるものなのかを調べる。
メビウス・エネルギーについては、その今回得た離散エネルギーにより数値解析が可能かどうかを調べる。メビウス・不変性を保つためにかなり複雑な離散化となっており、数値計算に向くかどうかを数値計算の専門家の知見を借りて考察する。数値計算が困難な離散化であるなら、メビウス不変性を保ったより簡易な離散エネルギーが定義可能かどうかを調べる。
今年度に得た平面閉曲線の等周比を用いた補間不等式を空間曲線の場合に一般化したい。平面閉曲線についての不等式は、結び目については平面上に乗った自明な結び目にしか適用できないためである。
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