2018 Fiscal Year Research-status Report
非線型分散型方程式に於ける解の形状及び漸近挙動とそれに関連する関数空間
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17K05311
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
佐々木 浩宣 千葉大学, 大学院理学研究院, 准教授 (00568496)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 非線形クライン・ゴルドン方程式 / ソボレフ空間 / 散乱作用素 / 散乱問題 / 調和解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成３０年度は、空間３次元の非線型クライン・ゴルドン方程式の散乱問題における時間大域解の存在定理及び解の漸近挙動を中心に研究した。具体的な非線形項は、場の理論において最も基本的であるものを含み、数学的には３次のオーダーを持つ。
（背景）この方程式に関しては、これまでに多くの散乱問題の結果が報告されているが、その中でも、「スケール臨界に相当するソボレフ空間Ｈｓ（ｓ＝１／２）の意味で十分小さい初期データに対して時間大域解が一意に存在すること、逆波動作用素、波動作用素、散乱作用素がＨｓの或る０近傍上において定義できること」が示されている。今回のテーマは、前述の散乱作用素を詳細に分析することである。非線形項の特性から「散乱作用素は、入力データの滑らかさを維持する」ことが容易に示される。しかし散乱作用素が「減衰のスピード」も維持するか否かは改めて証明する必要があり、選考結果は殆どない。昨年度は、「入力データが急減少関数であるとき、それを散乱作用素で写した出力データも急減少関数となる」ことを証明した。
（主結果）昨年度より詳細な命題を証明した：入力データが指数関数的に減衰し、更に或る条件を満たしているとき、対応する出力データ（とその偏導関数たち全て）も指数関数的に減衰する。証明のキーとなるのは「クライン・ゴルドン方程式と相性の良い微分作用素」及び「重み付き微分作用素の精密な解析」である。この結果は学術論文として纏められ、国際学術雑誌へ投稿している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
第２年度としてはおおむね順調に進展していると考える。
当初の計画においては「３乗冪項を伴った空間３次元の非線型クライン・ゴルドン方程式、非線型ディラック方程式、半相対論的ハートリー方程式に於ける散乱問題」というテーマを設定した。上部の「研究業績の概要」において記載した結果は、このテーマと大いに関連があり、本来の目的達成に大きく寄与する可能性がある。
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| Strategy for Future Research Activity |
現段階で得られている主結果及びそれを得るに至る手法を応用・修正することで、更に深い諸性質を明らかにしていく。
その際に関数解析学（フーリエ解析、バナッハ空間の補間空間論、自己共役作用素のスペクトル理論、リーマン幾何学など）の深い洞察が必要となるので、周辺分野の研究も適時行う。また考察を補助的に支えるシミュレーションについても随時実行する。横断的な研究になるので、それぞれの専門家との議論を活発に行う。
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| Causes of Carryover |
（理由）
平成３１年度は多くの出張と書籍ならびに、パソコン周辺機器の購入を予定しており、その遂行のために今年度の支出をある程度抑えた。
（使用計画）
本研究では様々な分野（偏微分方程式、関数解析、数理物理）の技術・知識を必要とするため、それに関連する書籍を年間１５冊程度（２０万円程度）購入する。本研究における論文作成、成果発表資料作成、シミュレーション作成、研究者間の通信のため、パソコン周辺機器の充実化が必須である。今年度は３０万円程度の購入を計画している。本研究の打ち合わせ並びに研究成果発表のために、出張を行う。国内出張先として京都大学、北海道大学、東北大学が挙げられる。またタイミング次第で海外出張も行う。予算は４０万円程度である。
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