2020 Fiscal Year Research-status Report

非線型分散型方程式に於ける解の形状及び漸近挙動とそれに関連する関数空間

Research Project

Project/Area Number	17K05311
Research Institution	Chiba University
Principal Investigator	佐々木浩宣千葉大学, 大学院理学研究院, 准教授 (00568496)
Project Period (FY)	2017-04-01 – 2022-03-31
Keywords	非線型クライン・ゴルドン方程式 / ソボレフ空間 / 散乱作用素 / 散乱問題 / 調和解析
Outline of Annual Research Achievements	令和２年度は主に、空間２次元の非線型クライン・ゴルドン方程式の散乱問題について研究した。非線形項f(u)は（a）uについて無限回微分可能であり、（b）uが小さいときはu^3のオーダーを持ち、（c）各偏導関数たちがexp(\|u\|^2)程度以下の増大を持つものとする。f(u)の典型例は「exp(\|u\|^2-1)u」という形である。（背景）この方程式に関しては、「スケール臨界に相当するソボレフ空間H^1の意味で十分小さい初期データに対して時間大域解が一意に存在すること、逆波動作用素、波動作用素、散乱作用素がH^1の或る０近傍上において定義できること」が示されている。今回のテーマは、前述の散乱作用素を詳細に分析することである。非線形項の特性から「散乱作用素は、入力データの滑らかさを維持する」ことが容易に示される。しかし散乱作用素が「減衰のスピード」も維持するか否かは改めて証明する必要があり、先行結果は「空間３次元の３次非線型項の場合」が在るくらいである。（主結果）昨年度は非線型項を「exp(\|u\|^2-1)u」に絞ったが、今年度は（a）～（c）を満たすような一般のf(u)について考察した。「入力データが急減少関数であるとき、それを散乱作用素で写した出力データも急減少関数となる」と「入力データが指数関数的に減衰し、更に入力データとf(u)が或る条件を満たしているとき、対応する出力データ（とその偏導関数たち全て）も指数関数的に減衰する」ことを示した。証明のキーとなるのは「クライン・ゴルドン方程式と相性の良い微分作用素」及び「重み付き微分作用素の精密な解析」である。この結果は学術論文として纏められ、国際学術雑誌へ投稿する予定である。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 第４年度としてはおおむね順調に進展していると考える。当初の計画においては【「ハートリー項を伴った空間3次元の非線型シュレディンガー方程式に於ける散乱問題」に関する研究を行う。これらの研究に関係する関数空間の考察も行う。】というテーマを設定した。上部の「研究業績の概要」において記載した結果は、このテーマと大いに関連があり、本来の目的達成に大きく寄与する可能性がある。
Strategy for Future Research Activity	現段階で得られている主結果及びそれを得るに至る手法を応用・修正することで、更に深い諸性質を明らかにしていく。その際に関数解析学（フーリエ解析、バナッハ空間の補間空間論、自己共役作用素のスペクトル理論、リーマン幾何学など）の深い洞察が必要となるので、周辺分野の研究も適時行う。また考察を補助的に支えるシミュレーションについても随時実行する。横断的な研究になるので、それぞれの専門家との議論を活発に行う。
Causes of Carryover	令和２年度は新型コロナウイルスの関係で出張を中止し、在宅での研究活動を主とした故、書籍の購入など少額の支出に留まった。（使用計画）本研究では様々な分野（偏微分方程式、関数解析、数理物理）の技術・知識を必要とするため、それに関連する書籍を年間２５冊程度（４０万円程度）購入する。本研究における論文作成、成果発表資料作成、シミュレーション作成、研究者間の通信のため、パソコン周辺機器の充実化が必須であり、１００万円程度の購入を計画している。本研究の打ち合わせ並びに研究成果発表のために、出張を行う。国内出張先として京都大学、北海道大学、東北大学が挙げられる。またタイミング次第で海外出張も行う。予算は４０万円程度である。