2021 Fiscal Year Research-status Report
非線型分散型方程式に於ける解の形状及び漸近挙動とそれに関連する関数空間
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17K05311
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
佐々木 浩宣 千葉大学, 大学院理学研究院, 准教授 (00568496)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 非線型分散型方程式 / クライン・ゴルドン方程式 / 散乱問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和３年度は主に、空間２次元の非線型クライン・ゴルドン方程式の散乱問題について研究した。非線型項f(u)は（a）uについて無限回微分可能であり、（b）uが小さいときはu^3のオーダーを持ち、（c）各偏導関数たちがexp(u^2)程度以下の増大を持つものとする。f(u)の典型例は「exp(u^2-1)u」という形である。
（背景）この方程式に関しては、「スケール臨界に相当するソボレフ空間H^1の意味で十分小さい初期データに対して時間大域解が存在すること、逆波動作用素、波動作用素、散乱作用素がH^1の或る0近傍上において定義できること」が既に示されている。今回のテーマは、前述の散乱作用素を詳細に分析することである。非線型項の特性から「散乱作用素は、入力データの滑らかさを維持する」ことが容易に示される。しかし散乱作用素が「減衰のスピード」も維持するか否かは改めて証明する必要があり、先行結果は「空間３次元の３次非線形項の場合」があるくらいである。
（主結果）昨年度は、（a）～（c）を満たす一般のf(u)について考察し、「入力データが急減少関数であるとき、それを散乱作用素で写した出力データも急減少関数になること」を証明した。今年度は、昨年度の主結果を考究し、「出力データがゲルファンド・シロフ空間（関数の滑らかさと減衰スピードの度合いを測るために導入された関数空間）に属するための、入力データと非線型項f(u)の必要条件」に関する定理を証明した。これらの結果は学術論文として纏められ、国際学術雑誌へ投稿した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
第５年度としておおむね順調に進展していると言える。
当初の計画においては、【「線型摂動項が加わった非線型シュレディンガー方程式の散乱問題及び解の平滑化効果」に関する研究を行う。これらの研究に関係する関数空間の考察も行う。】というテーマを設定した。上部の「研究業績の概要において」記載した結果は、このテーマと大いに関連があり、本来の目的達成に大きく寄与する可能性がある。
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| Strategy for Future Research Activity |
現段階で得られている主結果及びそれを得るに至る手法を応用・修正することで、更に深い諸性質を明らかにしていく。
その際に関数解析学（フーリエ解析、バナッハ空間の補間空間論、自己共役作用素のスペクトル理論、リーマン幾何学など）の深い洞察が必要となるので、周辺分野の研究も適時行う。また考察を補助的に支えるシミュレーションについても随時実行する。横断的な研究になるので、それぞれの専門家との議論を活発に行う。
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| Causes of Carryover |
令和３年度は新型コロナウイルスの関係で出張を中止し、在宅での研究活動を主とした故、ノートパソコンと書籍の購入など少額の支出に留まった。
（使用計画）
本研究では様々な分野（偏微分方程式、関数解析、数理物理）の技術・知識を必要とするため、それに関連する書籍を年間２５冊程度（４０万円程度）購入する。本研究における論文作成、成果発表資料作成、シミュレーション作成、研究者間の通信のため、パソコン周辺機器の充実化が必須であり、５０万円程度の購入を計画している。本研究の打ち合わせ並びに研究成果発表のために、出張を行う。国内出張先として京都大学、北海道大学、東北大学が挙げられる。またタイミング次第で海外出張も行う。予算は４０万円程度である。
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