2019 Fiscal Year Research-status Report
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17K05312
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
三浦 英之 東京工業大学, 情報理工学院, 准教授 (20431497)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 非圧縮性Navier-Stokes方程式 / 弱解 / 正則性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非圧縮性粘性流体を記述する非圧縮性Navier-Stokes方程式の弱解の正則性について，昨年度までの研究により，初期データがある空間近傍で3乗可積分であれば，それから出発したsuitable weak solutionと呼ばれる弱解がその近傍では少なくとも短時間は滑らかであることが示されている．この証明では解の局所部分と非局所部分への分解および分解された非局所部分の満たす摂動Navier-Stokes方程式に対するblow up法による局所解析が重要であったが，今回，解の分解や摂動方程式の解析を用いない初等的な方法で，従来の結果と比較して弱い正則性しかもたない初期データについて解の時空局所的正則性を得ることに成功した．より具体的には初期データの規格化された局所エネルギーがある空間近傍で十分小さければ，その近傍において解が短時間は滑らかであることを示した．規格化されたエネルギーは実解析学等で古くから研究されているMorreyノルムと密接な関係をもつ他，スケール不変性をもつ物理量としても自然なものである．一つの応用として，Caffarelli, Kohn, Nirenberg(1982)およびD'Ancona, Luca(2016)によるsuitable weak solutionが正則となる領域(regularity set)に関する結果を初期値の正則性およびregularity setの大きさに関して改良することができる．証明においては，圧力項による非局所的効果の解析，特に局所エネルギーの評価に用いられるlocal energy inequalityに現れる特異積分項の遠方部分の評価が重要となる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
非圧縮性Navier-Stokes方程式の局所正則性の研究に進展があった．今年度得られた結果は，従来の手法より簡明かつ問題の構造を明らかにする手法を導入することにより示されたものであり，今後の研究において重要になると期待される．以上の理由から研究は順調に進展しているといえる．
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度得られた局所正則性の結果について，さらなる改良を進めるとともに，今回用いた手法が他の問題にも応用できないか検討を行う．今後は当面，出張や学会発表等の活動を行うことが制限される可能性もあるため，オンライン上での研究討論や情報交換を行うことにより研究を推進する．
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| Causes of Carryover |
出張を計画していたが，新型感染症の流行による研究集会の中止，延期等の諸事情によりその機会が減り，旅費による支出額が想定を大幅に下回った．次年度は海外出張や研究に必要な機材の購入等のために使用する予定である．
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