2022 Fiscal Year Research-status Report
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17K05312
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
三浦 英之 東京工業大学, 情報理工学院, 准教授 (20431497)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 非線形偏微分方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は半線形熱方程式の解の正則性について高橋仁氏(東京工業大学) との共同研究を行った。特にべき乗型非線形項をもつ方程式においてSobolev優臨界の場合に解が局所的に正則となるための十分条件についての研究を進めた。類似の正則性の研究は非圧縮性Navier-Stokes方程式や幾何学的発展方程式においては古くから行われている。半線形熱方程式においてはChou, Du, Zheng(2007, Calculus of Variations and Partial Differential Equations)やBlatt, Struwe(2015, International Mathematics Research Notices)による結果があり、特に前者においてはborderline solutionと呼ばれる時間大域的弱解に対し，解のあるスケール不変な局所積分量が小さいという仮定のもとで，解が局所的に正則であるという所謂ε正則性定理が証明されている。今回我々は有限時間で発散する解の挙動を調べるために、時間大域的に定義されているとは限らない、より一般の弱解に対して考察を行い、方程式を不変とするようなスケール変換に関して不変となる臨界ノルムが有界となるような弱解に対し類似のε正則性定理を示すことに成功した。このような定理は爆発時刻における解の臨界ノルムの挙動を調べる上で重要となる。例えば今回の結果の対偶を考えることで、解の仮想的な特異点近傍におけるblow up解析においてリスケーリングされた解の列の一様な下方評価を得られるが、これは解の列の極限が非自明であることを示す際に重要な役割を果たす。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
これまで非圧縮性Navier-Stokes方程式を解析する際に得られた知見などを基に、関連する非線形偏微分方程式に対する解の正則性の解析を進めることができたから．
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| Strategy for Future Research Activity |
非圧縮性Navier-Stokes方程式や半線形熱方程式に対する解の正則性の研究を進める。同時にその応用についても検討を行なう。
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| Causes of Carryover |
研究発表や研究打ち合わせのための出張等を計画していたが、新型感染症の流行の継続により機会が減り、旅費による支出額が想定を下回った。次年度は国内出張等のために使用する予定である。
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Research Products
(1 results)
