2019 Fiscal Year Research-status Report

圧縮性流体に対する数学的手法の構築と他の方程式への応用

Research Project

Project/Area Number	17K05315
Research Institution	Gifu University
Principal Investigator	柘植直樹岐阜大学, 教育学部, 准教授 (30449897)
Project Period (FY)	2017-04-01 – 2022-03-31
Keywords	圧縮性オイラー方程式 / 反応拡散方程式 / 時間大域解の存在 / 漸近挙動 / 周期解
Outline of Annual Research Achievements	本年度は、(a) 圧縮性オイラー方程式および(b) 反応拡散方程式の研究を行った。 (a) 圧縮性オイラー方程式に関してラバル管内を流れる気体の運動を表す方程式に対して、時間大域解の存在と圧力の積分に関する減衰評価を証明した。ここで、ラバル管とは、真ん中が凹んだ砂時計のような形状をした管で、気体を超音速に加速するときに用いられる。次に、有限区間において時間周期外力のついた1次元の気体の運動を考え、外力と同じ周期をもつ時間周期解の存在を示した。ただし、気体は一方向のみしか考えることができなく、気体の速度が音速を超えていなければならない等、かなり制限の強いものとなっている。初期値と１周期後の解が、同じ有界集合に含まれていることを示すことが一番の問題点であった。これは、周期解の存在を示すために、不動定理を適用するときに必要なことである。最後に、半導体内の電子と正孔の運動を表す、流体力学モデルを考え、時間大域解の存在を示した。既存の結果では、解の有界評価は時間に依存するが、本結果では時間に依存しないことを示すことができた。この結果から、解はある有界集合に永遠に留まり続けることが分かった。 (b) 反応拡散方程式に関してある化学反応を表すBZ反応方程式に対して、時間大域解の存在および、その漸近挙動を示した。次に、休眠する捕食者を考慮した、捕食者・被捕食者モデルを考え、時間大域解の存在および、その漸近挙動を示した。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 3: Progress in research has been slightly delayed. Reason コロナウィルスの影響で、予定していた研究集会が全て中止になった。そのため、研究発表ができなくなった。
Strategy for Future Research Activity	今まで次の２つの問題を解くことができなかった。 (a) ある摩擦項のついたノズル流の運動を表す方程式の時間大域解の存在 (b) 時間周期外力のついた圧縮性オイラー方程式の時間周期解の存在 (a)は、ラバル管を流れる気体の音速になる位置がずれるという、チョーキングという現象を表す。(b)は、制限の強い場合は、今年度得ることができたが、一般の場合の解決には至らなかった。最近、この２つの問題に対して、打開策を見つけることができた。そのため、今後の研究では、その打開策を基に、細部を詰め、論文の形にして行こうと考えている。
Causes of Carryover	コロナウィルスの影響で、当初予定していた出張が全てキャンセルになり、旅費の使用額が大幅に減ったため。