2020 Fiscal Year Research-status Report
圧縮性流体に対する数学的手法の構築と他の方程式への応用
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17K05315
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| Research Institution | Gifu University |
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Principal Investigator |
柘植 直樹 岐阜大学, 教育学部, 准教授 (30449897)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 圧縮性オイラー方程式 / チョーキング / 時間周期解 / ピストン問題 / ノズル流 / エネルギー不等式 / 不変領域 / 減衰評価 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、圧縮性オイラー方程式に関する2つの研究を行った。一つ目は、ラバル管と呼ばれる砂時計のような形をした、ノズル内を流れる気体の運動を表す方程式を研究した。通常は、スロートと呼ばれる断面積が最も小さい場所で、気体は音速の値を取る。しかしながら、摩擦のある場合、音速の値を取る場所が下流へ移動する。この現象が、チョーキングと呼ばれる。この現象を表す方程式の時間大域解の存在は、知られていなかった。過去に、申請者は、摩擦のない場合に、時間大域解の存在を示した。しかしながら、摩擦のある場合は、摩擦項が障害となり、以前の手法が適用できなかった。そこで、質量を含んだ不変領域を導入することで、解の時間大域的な有界評価得て、この問題を解決した。これまでは既知関数からなる不変領域を用いてきたが、今回は未知関数を含んだ不変領域を適用した。
次に、圧縮性オイラー方程式に対して、有界区間におけるディリクレ境界値問題を考えた。そこへ時間周期外力を加え、時間周期解の存在に関する研究を行った。この問題の最大の問題は、初期値と1周期後の解が含まれるような有界集合を探すことにある。境界がある場合は、衝撃波が境界で反射すると大きくなるため、解の有界評価をすることは困難であった。これを解決するために、質量とエネルギーを含んだ不変領域を導入した。また、この結果は、副産物として、解の減衰評価をもたらした。その評価は、これからの研究にも役立つと予想される。これと並行して、現在は、時間周期的に動く境界（ピストン）に対しても、同様に時間周期解の研究を行っている。
これら２つの結果は、arXivとResearch Gateにて公開しており、科学雑誌にも投稿中である。
最後に、ノズル流の方程式の解に対して、エネルギー不等式が成り立つことを示し、この論文が受理された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要に述べた時間周期解の研究に目途がついたため、計画は、おおむね順調に進展している。欲を言えば、その論文が受理され、さらに研究発表ができれば良かったと考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究実績の概要に述べたピストン問題の論文を完成させること。また、これを含めた論文を学術雑誌に受理させ、研究発表を行いたい。さらに、周期解の存在で得られた解の減衰評価を、さらに進展させ、この分野の長い間未解決だった、解の漸近挙動に関する研究へと、つなげていきたい。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍で研究集会等が全て中止になり、旅費を使用することがなくなったため、今年度の科学研究費は殆ど使用できなかった。残額は、来年度コロナが収まっていれば、国際研究集会や国内の学会、研究集会で研究発表を行うときの旅費として使用する予定である。
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