2021 Fiscal Year Research-status Report
圧縮性流体に対する数学的手法の構築と他の方程式への応用
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17K05315
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| Research Institution | Gifu University |
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Principal Investigator |
柘植 直樹 岐阜大学, 教育学部, 准教授 (30449897)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 圧縮性オイラー方程式 / チョーキング / 時間大域解 / ノズル流 / 不変領域 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、(1) 摩擦のあるラバル管内の気体の運動を表す方程式 (2) 半導体方程式の解の時間に関して一様な有界評価に関する論文が、それぞれSIAM J. Math. Anal.とFront. Math. Chinaに受理された。以下、その説明を行う。
(1) ラバル管と呼ばれる砂時計のような形状をした管を、気体が流れると、断面積の一番小さい場所（スロート）で音速になることが知られている。ところが、この管内に摩擦があると、音速の値になる場所が別の場所に移動する。この現象をチョーキングという。本研究は、その現象を表す方程式を数学的に解析したものである。摩擦項のない場合は、時間大域解の存在を示すことができた。この際は、空間変数に依存する不変領域を用いる。しかしながら、この場合は摩擦項があるため、時間大域解の存在を示すには至っていなかった。通常、摩擦項があると方程式の扱いは簡単になるが、この摩擦項は少し特殊で、解の有界評価を導出するときに弊害となる。これを解決するために、有界評価を導出する際、質量に依存する不変領域を用いた。
(2) 半導体中の電子と正孔の運動を表す方程式を考えた。時間大域解の存在は知られているが、解が時間に依らない有界な集合に留まり続けるかどうかは未解決であった。本研究では、時間に関して一様な有界評価を導出した。
最後に、論文は受理されていないが、解の減衰評価に関して進展があったので追記する。例えば、一次元の気体の方程式を考えると、解は十分時間が経つと、定数に近づくことが予想される。しかしながら、この運動を記述する圧縮性オイラー方程式に対しては、数学的に解明されていない。それどころか、解が減衰することも一般には分かっていない。この問題に対して、任意の有界な解は、十分時間が経つと、ある有界集合に吸引されることが分かった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
当初予定していた圧縮性オイラー方程式に、時間周期外力を加えて、時間周期解が存在するという問題を解くことができた。しかしながら、その論文は査読に時間がかかっており、まだ受理されていない。
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| Strategy for Future Research Activity |
圧縮性オイラー方程式の解の減衰評価を導くことができた。具体的には、任意の有界な解は、十分時間が経つと、ある有界集合（グローバルアトラクター）に吸引されることが分かった。この事実を用いて、まず1次元の初期値問題に対して、グローバルアトラクターの存在を示す。次に、グローバルアトラクターを見つける事で、解の減衰評価を得る事ができる。時間周期解の存在を示す場合、この評価が鍵になる。まず、初期値境界値問題に対して、時間周期外力を加えた場合と時間周期的に動く境界（ピストン）を考えて、それぞれ時間周期解の存在を示す。また、空間周期境界値問題に対しても、同様な研究を行いたい。最終的には、この減衰評価の研究を推し進めて、解が定数に近づく解の漸近挙動の問題を解決したいと考えている。
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| Causes of Carryover |
コロナの影響で学会等が中止になり、出張旅費の支出がなくなったため。
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