2019 Fiscal Year Research-status Report
非線形分散型方程式の代数的構造と初期値問題の適切性
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17K05316
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| Research Institution | Chuo University |
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Principal Investigator |
津川 光太郎 中央大学, 理工学部, 教授 (70402451)
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2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 分散型方程式 / 非線形 / 初期値問題 / 適切性 / シュレディンガー方程式 / 可積分系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
発展方程式の初期値問題において最も基本的な問題は適切性（解の存在、一意性、初期値に対する連続依存性）である。非線形分散型方程式の研究においては、これまで非線形項の特異性がそれほど強くない場合に対して多くの研究がなされてきた。しかし、非線形項に微分が含まれていて強い特異性を持つ場合は評価が難しく、今後の研究が期待されている。申請者はこれまで非線形項に3階までの微分を含む5次KdV型の方程式や1階の微分が含まれる非線形シュレディンガー方程式の適切性の研究を行ってきた。これらの研究を通して、一般に1次元トーラス上の高階の非線形分散型方程式は、初期値問題の適切性に着目すると3つのクラスに分類されるであろうという推測を得ている。この研究を行う手法としてはエネルギー法が有力であるが、非線形方程式を扱うための前準備として線形の変数係数方程式についてエネルギー不等式を示すことを考えてきたが、エネルギー不等式があまりにも複雑になり、その中に規則性を見出すためには、先ずは定数係数の場合について考えることが必要となった。エネルギー不等式に巧妙に補正項を付け加えることにより目的とするエネルギー不等式を示すことに成功し、定数係数線形方程式については完全に3つのクラスに分類することに成功した。ここで得られた補正項の構造は、変数係数の場合や非線形方程式の場合の研究についての指針となるものである。上記の研究は大学院生の田中智之氏との共同研究である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
変数係数方程式の研究において、完全に3つに分類するための困難な点が見つかった。これを克服するために、先ずは定数係数の場合について研究を行うことが必要となったため。
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| Strategy for Future Research Activity |
定数係数で得られた結果を、変数係数の場合に応用し、さらに非線形方程式について考え初期値問題の適切性の観点から方程式を完全に3つのクラスに分類することを考える。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍の影響によりいくつかの研究集会が中止となったため。コロナが収束したら代わりとなる研究集会にて発表する計画である。
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