2018 Fiscal Year Research-status Report
Nonlinear microlocal analysis for the Boltzmann equation
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17K05318
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Research Institution | Kyoto University |
Principal Investigator |
森本 芳則 京都大学, 人間・環境学研究科, 名誉教授 (30115646)
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Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
清水 扇丈 京都大学, 人間・環境学研究科, 教授 (50273165)
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Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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Keywords | ボルツマン方程式 / 非切断型 / 多項式オーダー摂動解 / ランダウ方程式 / 初期値問題 / 解析的平滑効果 |
Outline of Annual Research Achievements |
前年度に引き続き,空間非一様な非切断型ボルツマン方程式について,大域的平衡解(時間と空間に依存しないGauss関数)の周りでの速度に関する多項式オーダー減衰解の研究を行った.多項式減衰解が時間大域的に存在することを,衝突積分項の衝突角度変数の特異性が強い場合にも示すことができた.研究進展の鍵となったのは,積分型フーリエ乗法演算子とボルツマン衝突積分作用素との交換子評価の精密化と,速度変数vのモーメントに対するPozner 型不等式の改良である.衝突項の衝突断面積がハードポテンシャルと呼ばれる,粒子間相対速度の絶対値の正べきに依存する場合で,かつ解が空間変数 x について周期的である場合の結果である.今後はソフトポテンシャルと呼ばれる,粒子間相対速度の絶対値の負べきに依存する場合と,解が空間変数について全空間で依存する場合への拡張が課題である.
多項式減衰解の時間大域存在の証明で用いた,積分型フーリエ乗法演算子はボルツマン方程式の輸送項と衝突項から,空間変数 x の楕円性を自然に導く性質を持っている.楕円性の指数は衝突項の速度変数 v に関する楕円性の指数に等しく,この指数はボルツマン衝突積分項の角度変数の特異性の指数 2s (s<1) に一致する.それゆえ,空間非一様な非切断型ボルツマン方程式の初期値問題の解については 指数 min{2s,1}の Gevrey 級での平滑効果が期待される.この予想の解決の第一歩として,s=1 とした極限の場合として考えられるランダウ方程式(衝突項が速度変数に関する非線形2階偏微分作用素)について,大域的平衡解の平方根以上の速度変数に関する減衰を仮定した摂動解の解析的平滑効果を考察した.マクスウェル型と呼ばれる場合に,exp 積分型フーリエ乗法演算子を用いて,ランダウ方程式の摂動解の解析平滑効果の証明に成功した.
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Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
空間非一様な非切断型ボルツマン方程式の多項式オーダー減衰解の時間大域的存在を,衝突項の衝突断面積の角度変数に関する特異性が強い場合にも示すことができた.証明では解の平滑化が鍵であり,積分型フーリエ乗法演算子が重要な役割をした.更に,この積分型フーリエ乗法演算子を指数関数のべきとする,exp 積分型フーリエ乗法演算子を導入することにより,非切断型ボルツマン方程式の特異極限としてしばしば考察されるランダウ方程式について,マクスウェル型であるなどの制限はあるものの,初期値問題の解の解析的平滑効果を初めて明らかにできた.
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Strategy for Future Research Activity |
海外共同研究者を国内に招へいするのは,支給旅費の20パーセントが税金で差し引かれる場合が多く,招へいを躊躇せざるを得ない.限られた科研費の効率的な使用として,その代わりに共同研究者との討論のため,フランス,香港,カナダ等の海外に積極的に渡航する予定である.
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Causes of Carryover |
旅費に使用する.
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Research Products
(6 results)