2019 Fiscal Year Research-status Report
Nonlinear microlocal analysis for the Boltzmann equation
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17K05318
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
森本 芳則 京都大学, 人間・環境学研究科, 名誉教授 (30115646)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
清水 扇丈 京都大学, 人間・環境学研究科, 教授 (50273165)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | ボルツマン方程式 / 非切断型 / ランダウ方程式 / 解析的平滑効果 / 対数オーダー積分型演算子 / 初期値問題 / Debye-湯川型ポテンシャル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
切断近似をしないボルツマン方程式とその特異極限として得られるランダウ方程式など、気体粒子間の長距離相互作用を考慮した運動学方程式（kinetic equation)について、積分型フーリエ演算子を用いて初期値問題の解の平滑化と時間大域解の構造について研究を進めた。
特に、衝突項が気体の速度変数 v に関して2階偏微分作用素であるランダウ方程式については指数タイプ（exp）積分型フーリエ乗法演算子が、初期値問題の解の解析的平滑効果の証明に画期的な役割を果たすことが明らかとなった。速度変数に関するGauss関数（Maxwell分布）はLandau方程式の大域的平衡解であるが、この大域的平衡解の摂動がGauss 関数の平方根以上の減衰をしていて、初期摂動が空間変数 x に関する2階導関数まで x、v に関する2乗可積分関数として十分小ならば、摂動は時間正で瞬時に空間変数 x と速度変数 v に関して解析関数となることが証明できた。ただし、得られた結果はランダウ衝突項がマクスウェル型とよばれる呼ばれる特別な場合で、Lev Davidovitch Landau 自身が1936年に導出したプラズマ物理学で重要なモデルを含む一般な場合まで拡張できるかどうかは今後の課題である。数学的側面としては、指数タイプのフーリエ乗法演算子が、doubling 条件と呼ばれる調和解析にあらわれる標準的な weight の良い性質を見たなさい困難さがある。マクスウェル型と呼ばれる簡単な場合は、初期摂動がもつGauss 関数の平方根以上の減衰を利用することで、この困難を克服できた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
空間非一様なランダウ方程式の初期値問題の解の解析的平滑効果の証明で用いた exp 積分型フーリエ乗法演算子の対数オーダー版を考案することに成功した。これにより、Debye-湯川型相互作用ポテンシャルから導出されるボルツマン衝突積分項のような対数オーダーの楕円性しか持ち得ない、空間非一様な非切断型ボルツマン方程式の初期値問題の解が瞬時に空間変数と速度変数について、無限回微分可能となることを証明できる可能性が見いだされた。
Debye-湯川型相互作用ポテンシャルから導出される衝突積分項をもつボルツマン方程式については、空間一様な場合に速度変数について、初期値問題の解が瞬時に無限回微分可能になることを鵜飼正二、C.-J. Xu、T. Yang氏との共同研究で15年前に証明したが、方程式が空間変数に依存する場合は未解決である。
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| Strategy for Future Research Activity |
新型コロナウイルスによる肺炎の感染拡大により、海外共同研究者との共同研究の遂行には、大きな困難が生じているがスカイプ、ズームなどのインターネットによる代用でしばらくは研究を継続する予定である。黒板を利用した直接的な研究討論は、これまで大きな成果をあげてきたので、感染の終息を待って海外渡航の機会を模索する。
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| Causes of Carryover |
外国人共同研究者である香港城市大学のTong Yang 教授と令和元年度、共同研究を現地で行うことを予定していたが、
香港情勢の悪化により渡航を遅らせることにした。また、同じく共同研究者である仏ルーアン大学のChao-Jiang教授と
、2月に共同研究を予定していたが新型肺炎により計画を変更をせざるを得ない。次年度に海外渡航あるいは共同研究
者の国内招へいにより共同研究を実施する。
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