2019 Fiscal Year Research-status Report
Mathematical analysis of fluid dynamics in various singular limits
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17K05320
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
前川 泰則 京都大学, 理学研究科, 教授 (70507954)
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2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 偏微分方程式 / 流体力学 / Prandtl境界層 / 解の漸近展開 / Navier-Stokes方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(Navier-Stokes 方程式におけるのPrandtl境界層展開の研究)
非自明な境界をもつ領域におけるNavier-Stokes 流の非粘性極限での挙動は流体力学における古典的な問題である一方，境界層の潜在的な不安定性により数学的には極めて難しい問題として知られている．非定常流においてはTollmien-Schlichting不安定性による微分損失により，一般にSobolev空間の枠組みでのPrandtl境界層展開は期待できないことが知られていたが、解析的な正則性より弱い枠組みにおいてPrandtl境界層展開が正当化できるか否かは物理的に良い形の境界層の近傍でもよくわかっていなかった．これまでの研究により、shear型と呼ばれる特別なクラスの境界層においてはGerard Varet氏、Masmoudi氏との共同研究によりGevrey 3/2クラスの枠組みで正当化できていたが、shear型でない場合は常微分方程式およびレゾルベント問題への帰着が困難なため未解決であった．shear型とは限らないより一般の境界層の安定性を示すため、人工的境界条件の下での重み付きエネルギー法と境界条件回復のための境界上のGevrey 3/2の関数空間における縮小写像定理を組み合わせた新たな手法を開発した．これにより、一般の凸型境界層が非粘性極限において、Gevrey 3/2クラスで安定であり，この枠組みにおいてPrandtl境界層展開が成り立つことが数学的に証明された．本研究成果はGerard Varet氏，Masmoudi氏との共著論文としてまとめており，近く国際学術誌に投稿予定である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
一般の凸型境界層が非粘性極限においてどのような枠組みで安定であるかは長年の未解決問題であった．本研究により，Gevrey 3/2クラスでの安定性が示され，この枠組みにおいてPrandtl境界層展開が成り立つことが数学的に証明されたことは，本研究分野で重要な成果であるといえる．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの結果は2次元半空間のものに限られている．境界の曲率が零でない場合や3次元の場合への拡張が望まれる．また，incompatibleな初期値に対する非粘性極限のGevreyクラスでの正当化は2次元の場合でも未だなされていない．初期層の特異性をコントロールする必要があり，これまでの手法を大きく発展させる必要がある．
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| Causes of Carryover |
令和2年3月下旬に流体数学の専門知識を持つ協力者との研究討論を行う予定であったが、新型肺炎の影響により中止せざるを得なくなった。本研究遂行上、流体数学の専門知識を収集するためには当該協力者や専門家と研究討論を行うことは不可欠であるため、終息を見込み令和2年6月に延期して実施することとなった。なお、終息しない場合はWeb会議にて代替する。
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