2020 Fiscal Year Annual Research Report
Partial differential equations with the total mass conservation and related topics of abstract approach
| Project/Area Number |
17K05321
|
|---|
| Research Institution | Kyoto University of Education |
|---|
Principal Investigator |
深尾 武史 京都教育大学, 教育学部, 教授 (00390469)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
愛木 豊彦 日本女子大学, 理学部, 教授 (90231745)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
|
| Keywords | 発展方程式 / 動的境界条件 / 急速拡散 / 有限時刻消滅 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
研究期間の最終年度では、動的境界条件下での非線形偏微分方程式に対する長時間挙動について研究を行った。これまでの研究で、動的境界条件下であっても抽象発展方程式論的に方程式の構造が大きく変わらない場合には既存の抽象論による接近が可能であることが分かっていた。とくに非線形拡散項をもつ問題において、有限時刻での解の消滅に関する問題に取り組んだ。
内部もしくは境界で爆発項を含む場合であっても、1次の項が内部もしくは境界にある場合には、内部拡散、境界拡散の効果とともに、有限時刻消滅の結果が先行研究と同様に得られた。境界の次数は1次元低いため予想されたとおり、内部の指数の関係から1次元低い形で指数に条件が入ることが分かった。
局所解の存在定理においては時間差分と基本的な代数不等式による一様評価の工夫が有効であった。近似問題からの収束の議論でも従来のコンパクト性の手法が適応できた。境界拡散項の存在によって、解のある意味での内部正則性が獲得できる。なお局所解一意解の議論においては本質的上限のノルム評価が最も重要であることが明確になった。
動的境界条件下で、これまで考察を繰り返してきた問題では、内部の方程式より境界上の方程式の方が自由度が増している。今後は内部の方程式をある程度整え、一方で境界の方程式をより複雑にすることで、従来表現できなかった複雑な現象を記述しつつ、適切性が裏付けられた動的境界条件下での偏微分方程式が研究対象になることが予想される。動的境界条件というあらたな設定によって、古くから研究されてきた研究課題が再度見直され、分野の再開拓という意味で本研究によって得られた結果が応用できる道筋が構築された。動的境界条件の入り方が異なる新たなモデルが研究期間中に続々と提唱され、本研究をはじめとする動的境界条件にまつわる同種の問題は益々注目されつつあり、その素地が本研究によって作られた。
|
