2018 Fiscal Year Research-status Report
A study of asymptotic behavior of threshold orbit arising in gradient systems with noncompact energy structure
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17K05323
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
石渡 通徳 大阪大学, 基礎工学研究科, 教授 (30350458)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 臨界放物型方程式 / ソボレフ臨界指数 / プロファイル分解 / 時間大域的有界性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は
１．非有界領域上で定義された、ソボレフ劣臨界半線型スカラー放物型方程式の解の漸近挙動に関し、安定集合・不安定集合とそこから導かれるダイナミクス
２．ソボレフ臨界指数をもつ半線型放物型方程式の、タイプ２爆発解のソボレフ空間における有界性
３．変動指数をもつソボレフ埋め込みのコンパクト性
４．ソボレフ臨界指数に達する変動指数をもつ半線型放物型方程式の時間大域解の最大値ノルムの時間大域的有界性
に関する研究を行った。１については安定集合、不安定集合の構成に成功し、同時に「非自明な挙動を行う時間大域解」の存在も示すことができた。このことにより、本研究のターゲットである「逃げ去り解」の存在が確立され、次年度の「逃げ去り解の挙動の具体的解析」への基礎ができた。２については後方自己相似変換後に、ソボレフ空間におけるプロファイル分解定理を用いることで、タイプ２爆発の仮定の下でのソボレフ空間における有界性を示そうとしたが、元の解と「初期値のプロファイルから出発する解の重ね合わせ」との関係が明らかになれば結果を得られるところまで到達し、次年度の研究目的が明確化された。３については、変動指数が十分臨界指数に早く接する場合、埋め込みがコンパクトになることが判明した。この結果を用いることで、変動指数をもつ半線型放物型方程式について、変動指数に関する上記と同じ仮定の下で、時間大域解が最大値ノルムでの時間大域的有界性を持つことが示された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究計画書にある、平行移動変換群に由来する軌道のコンパクト性の破れの解析は、空間一次元の場合について安定集合・不安定集合の構成がなされ、ターゲットとなる非自明挙動を取る時間大域解の存在が得られた。また、臨界ソボレフ指数をもつ放物型方程式の時間大域解の解析について、指数が原点でのみ臨界指数に接しその他の場所では劣臨界である問題について、時間大域的有界性を与える十分条件を導いた。さらに関連する話題として、臨界型関数不等式、特に有界偏導関数空間のルベーグ空間への埋め込みに関する最大化問題についての結果を得た。以上より、おおむね順調に研究が進展していると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
「研究業績概要」1にある通り、本研究のメインターゲットである「逃げ去り解」（領域の非有界性による定常解の非存在によって生じる進行波解状の解）の存在が確立されたので、空間無限遠におけるプロファイルの周りでのリャプノフ・シュミット逓減法などを用いて、重心座標のダナミクスを記述する有限次元運動方程式を導くことを考える。その際、領域が半空間である場合には、領域の境界が解析の技術的困難を導く可能性があるので、これが実際に生じた場合には、同様の構造をもつ単調ポテンシャルをもつ全空間上での放物型方程式の解析を行い、元の問題に対する手がかりを得ることを考える。「研究業績概要２」にある、ソボレフ臨界指数をもつ半線型熱方程式のタイプ２爆発解の解析については、時間発展に伴う凝集現象に付随するプロファイル分解と、時間発展の可換性を解析することにより、所望の結果を得ることを考える。「研究業績概要３、４」にある、変動指数を持つソボレフ埋め込みのコンパクト性、及び付随する放物型方程式の解の時間大域有界性については、同様の構造が非線型放物型方程式にも存在するため、半線型性を覗いた非線型問題について同様の結果を得ることを狙う。
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| Causes of Carryover |
旅費が予定より若干安価に済んだため、若干額の次年度繰越金が生じた。次年度旅費・物品費などで適切に使用する予定である。
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