2019 Fiscal Year Annual Research Report
A study of asymptotic behavior of threshold orbit arising in gradient systems with noncompact energy structure
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17K05323
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
石渡 通徳 大阪大学, 基礎工学研究科, 教授 (30350458)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 臨界放物型方程式 / ソボレフ臨界指数 / プロファイル分解 / 時間大域的有界性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題は非コンパクトな解軌道を持つ非線型放物型方程式の解の漸近挙動について、偏微分方程式論、函数解析、実解析、爆発解析の手法を用いて詳細な解析を行うこと、及び非コンパクトな解軌道を持つ力学系の一般論構築への足掛かりを得ることであった。非有界領域上の半線型放物型方程式の時間大域解の漸近挙動については、空間領域が非有界な場合対応するソボレフの埋め込みはコンパクト性を持たないことを反映して、解軌道はコンパクト性を持たない。実解析分野ですでに得られていた、同埋め込みのプロファイル分解を用いることによって、時間大域解のコンパクト性を詳細に解析する子により、非線型項がべき型でない一般的な場合について、安定集合、不安定集合の存在、及び時間大域解が有限個の全域定常解の重ね合わせで記述される漸近挙動を取ることが示された。使用した手法は半線型性をほとんど使わないため、類似の構造を持つ非線型放物型方程式に対しても適用可能であると考えられたため、派生研究として、非線型ラプラシアンを主要項とする類似の問題を扱った。この場合は時間局所解を与える非線型半群理論とプロファイル分解の関係を探求することが出発点となるが、非線型項がべき型の場合に解析を行い、半線型の場合と同様の結果を得た。さらに、スケール不変性により解軌道のコンパクト性が破れる臨界放物型問題の例である、平均曲率一定曲面方程式に付随する熱流の解析への準備として、体積汎関数のコンパクト性の破れの解析を行った。これは Wente の不等式に付随するソボレフ空間の埋め込みを議論することに当たるが、現在まで実解析的な立場からの議論はあまり存在しない。同埋め込みのプロファイル分解に付随する位相が、有界平均振動空間の位相と一致することを示し、対応する体積汎関数のプロファイル分解定理を得た。
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Research Products
(6 results)
