2019 Fiscal Year Research-status Report
Transversally strictly hyperbolic systems
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17K05324
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
西谷 達雄 大阪大学, その他部局等, 名誉教授 (80127117)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 横断的狭義双曲系 / 伝播錐 / Gevrey クラス / 初期値問題 / 適切性 / 一様対角化 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
特性多様体の危点全体が滑らかな多様体と仮定する．さらに主表象の固有値が半単純と仮定する．このとき，特性多様体に横断的な方向に狭義双曲系であるクラスを横断的狭義双曲系として導入し，特性多様体がシンプレクティックまたは包合的であれば，この横断的狭義双曲系は強双曲系，すなわち初期値問題が任意の低階に対して，無限回微分可能な関数空間で適切となる，ことを示した．
さらに，相空間において定義される主表象の伝播錐が，特性多様体に横断的であれば (これは特性多様体がシンプレクティックである場合を含む）横断的狭義双曲系は強双曲系である，ということの証明にほぼ成功した．
またMetivierが提案した 3x3 横断的狭義双曲系において，係数に現れる変数を t, x, y と変えることによって，t のときは伝播錐が特性多様体に横断的で，この系は強双曲系であり（ただし解の滑らかさは初期値の滑らかさに比して一般に悪くなる)，y のときは特性多様体が包合的で，初期値問題は L^2 適切となり，特に強双曲系である．さらに x のときはそのいずれでもなく，系に含まれる助変数の値によって，初期値問題が H^1 適切である場合と，初期値問題が Gevrey クラス s>2 で非適切になる場合が起こる，ことを示した．横断的狭義双曲系は常に一様対角化可能な系であるので，この結果は一様対角化可能な系は Gevrey クラス 1<s<2 で低階にかかわらず適切である，という梶谷の結果が一般にはこれ以上改良され得ないことも示している．
以上の結果は kyoto J. Math. での掲載が決定している．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の最終目標は，横断的な狭義双曲系が強双曲系であるための，伝播錐と特性多様体の関係を明らかにすることであった．この課題に対して，伝播錐が特性多様体と横断的である場合は，横断的狭義双曲系は強双曲系である，という結果をほぼ満足のゆく形で得ることができた．また伝播錐が特性多様体の接平面に完全に含まれる場合も，横断的狭義双曲系は強双曲系である，という結果を示すことができた．そのいずれでもない場合は，一般的な結果は得られていないが，状況は非常に複雑で，強双曲形になる場合もあれば，Gevreyの クラス s>2 では初期値問題が非適切となる 3x3 の系の例を与えることができた．
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| Strategy for Future Research Activity |
伝播錐が特性多様体と横断的でもなく，また伝播錐が特性多様体の接平面に完全に含まれない場合の，横断的狭義双曲系の初期値問題の適切性の研究を推進する．この場合は横断的狭義双曲系は，強双曲系になる場合もあればそうでない場合もあることが 3x3 の例で分かっている．そこで 3x3 の系に限って，系のどのような構造が，系の強双曲性に影響しているのかを解明する．また 2x2 の系に対してもこのような例が存在するかどうかを研究する．
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| Causes of Carryover |
2019年9月にピサ大学の Colombini 氏とピサ大学で２週間の共同研究を行う予定であったが，申請者の2019年日本数学会秋季総合分科会での所用によって日程調整がつかず，この共同研究の実施を延期した．また 2020年2月，3月に国内で開催予定だったいくつかの研究集会，および日本数学会2020年度年会に参加予定であったが，これらが新型コロナ感染の影響により，すべて中止あるいは延期となった．
新型コロナ感染の終息状況によるが，2020年9月にピサで2週間の共同研究を行うための旅費，また，延期された国内研究集会への旅費に充てる．
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