2018 Fiscal Year Research-status Report
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17K05330
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
柴田 徹太郎 広島大学, 工学研究科, 教授 (90216010)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 非線形楕円型固有値問題 / 分岐曲線の漸近挙動 / 逆分岐問題 / 関数方程式論 / 関数解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度も引き続き、昨年度に得られた研究成果をふまえて、非線形常微分方程式における分岐曲線の様々な振動現象の漸近解析に取り組んだ。分岐曲線に現れる興味深い振動現象は、考察する方程式がそれほど複雑でない非線形項を含む場合でも出現することに着目した。なかでも、昨年度に考察が進んだ、拡散係数に非線形項を含む常微分方程式に関しては、そのアプローチとして、一般化されたタイムマップ法が有効であること知られていたが、さらに方程式が振動する非線形項も同時に含む場合に対する解析法として、いままで用いてきた特殊関数の漸近公式を適用する方法ではなく、停留値法を援用することが非常に有効であることが判明した。さらに、特徴的な分岐曲線が現れるかどうかを考察するために、一般的な周期関数を非線形項として持つ常微分方程式を考察し、詳細な漸近公式を確立することに取り組んだ。具体的には自励系の非線形常微分方程式の分岐曲線が無限回振動するかどうかを関数解析的手法を援用することにより考察した。具体的なアプローチぱ次の通りである。方程式が自励系であるため、その分岐曲線の挙動はタイムマップを用いて考察可能ではあるが、実際の計算においてはいくつかの困難を伴う。それらの困難を克服するため、非線形項をフーリエ展開するという手法を用いた。その結果、予想されたとおり、出現する積分計算は非常に複雑なものとなったが、巧みな計算によりそれを克服した結果、詳細な漸近公式を導くことに成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
昨年度の研究をふまえて、本年度の研究に新しい展望が生じた。すなわち、一般化されたタイムマップ法によるアプローチは想定していたよりも多様な非線形項を含む非線形固有値問題の分岐曲線の漸近解析に対して有力な手法であることが判明した。この研究の進展により、来年度以降の研究に新しい展開が期待できることとなった。
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| Strategy for Future Research Activity |
非線形常微分方程式の分岐理論の分野や、非線形楕円型方程式の分野等で活躍している研究者との情報交換を活発に行い研究を進展していく。さらにこれらの分野の研究者だけではなく、関数解析に関する手法に詳しい研究者との共同研究を推し進めていく。このことにより、分岐曲線の漸近挙動の解析だけではなく逆分岐問題に関する研究の推進を目指す。
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