2019 Fiscal Year Research-status Report
非線形分散型方程式に現れる平面進行波解の安定性解析
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17K05332
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
水町 徹 広島大学, 理学研究科, 教授 (60315827)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | KP-II方程式 / 多線ソリトン / 線形安定性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
空間２次元の長波長近似モデルであるKP-II方程式には複数の平面進行波が交叉する多線ソリトンと呼ばれる厳密解がある．本年度は多線ソリトン解の中でも定常解として扱うことのできる弾性２線ソリトン解（P型とO型の２線ソリトン解）の重み付きの関数空間における線形安定性を研究目標とした．重み付きの関数空間での線形安定性を研究する理由は，解に含まれる異なるタイプの波が伝播速度の違いにより分離する様子を定量的に評価できるという理由の他に，摂動によって生じる線ソリトンのひずみを近似する線形化方程式の解（共鳴連続固有関数）が線ソリトンの伝播方向と逆向きの方向に僅かながら指数増大をするためである．
空間１次元の完全可積分系方程式の多ソリトン解の安定性の証明には，Nソリトン解と(N-1)ソリトン解の対応を与えるベックルンド変換が有用なことが知られており，空間２次元のモデルであるKPII方程式においても，ダルブー変換が自明解のまわりでの線形化方程式の解空間と1線ソリトン解のまわりでの線形化方程式の解空間から共鳴連続固有モードを除いた部分空間との間の同型対応を与えている．
本年度は弾性２線ソリトン解のまわりでの線形化方程式の解空間と1線ソリトン解のまわりでの線形化方程式の解空間の関係をダルブー変換を用いて記述することを目標に，線形化作用素の共鳴連続固有関数とその共役連続固有関数との直交関係を調べ，ダルブー変換の基本解をラックス作用素の基本解を用いて構成するところまで研究を進めたが，２ソリトン解の線形安定性に関する結果はまだ得られていない．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
２線ソリトンのまわりでの線形化方程式のポテンシャルが二つの変数に依存するため，１線ソリトンの場合に比べて計算の見通しを立てにくく予想外に手間取っている．
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| Strategy for Future Research Activity |
KPII方程式の線ソリトンやBenney-Luke方程式の平面孤立波解のまわりでの線形化作用素には空間無限遠方で指数増大する共鳴連続固有関数が現れることが研究の難しさにつながっている．
KPII方程式の多線ソリトンの安定性の研究を進める他，他の空間２次元の長波長近似モデルの平面孤立波解の安定性や多重の平面孤立波が存在するかという問題に取り組むことを通じて共鳴連続固有関数に関する理解を深め，非線形解析としてより自然な方法を模索する．
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| Causes of Carryover |
新型コロナ感染症のためいくつか出席を予定していた研究会が中止になったことなどが影響した．現在も出張が難しい状況が続いているため，研究費の一部をオンラインでの討論に必要な機器の購入に充てる．主催者の一人に加わっていた国際研究集会も２０２１年度に延期になったため，研究期間を当初の予定よりも１年延長する．
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