2018 Fiscal Year Research-status Report
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17K05333
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| Research Institution | Ehime University |
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Principal Investigator |
内藤 雄基 愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 教授 (10231458)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
猪奥 倫左 愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 准教授 (50624607)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 非線形解析 / 非線形熱方程式 / 自己相似解 / 楕円型偏微分方程式 / 特異解 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では、非線形放物型偏微分方程式および、その定常問題である非線形楕円型偏微分方程式に対して、解の特異性と解構造について考察を行う。
今年度は、非線形楕円型偏微分方程式の Dirichlet 問題に対する球対称特異解の性質について考察を行った。優Sobolev 臨界指数を持つ非線形問題に対して、球対称特異解が一意に存在することを示し、さらに有界な解の極限として、その特異解が得られることを示した。さらに、安定最小解の臨界に現れる極解が特異的であるかどうかという問題の考察を行った。特異解のまわりでの線形化問題を考えることにより特異解が極解であるための必要十分条件を導いた。
指数関数を非線形項に持つ非線形楕円型方程式の球対称解の分離構造について考察を行った。最初に、球対称解の分離構造が、分離型、交差型、部分分離型の３種に分類されることを示し、それぞれの特徴付けを行い、それにより部分分離型であるための十分条件を導くことができた。とくに臨界次元においては、係数関数のある種の単調性により分離構造が大きく変化することを示すことができた。
優 Sobolev 臨界増大非線形項をもつ非線形熱方程式の正値解について、後方自己相似解と前方自己相似解の L^1 クラスでの接続を考えることにより、不完全爆発解の構成を行った。とくに、ODE的手法を用いたアプローチにより、特異定常解よりも大きい爆発形状をもちながら爆発後に延長可能な解の存在を示すことができた。また、爆発後の解の最小接続の存在を示し、さらに非最小接続のいくつかの性質を明らかにした。
連続係数関数をもつhalf-linear 非線形系の解の漸近挙動について考察を行った。２次元系における原点に収束する解の解曲線が有限長（rectifiable）および非有限長（nonrectifiable）であるための必要十分条件を導くことができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
非線形楕円型偏微分方程式の解構造、特異解の構成および非線形放物型偏微分方程式の特異解の構成において、Sobolev 臨界指数、 Joseph-Lundgren 臨界指数の及ぼす影響を捉えることができたとともに、とくに、非線形楕円型方程式の特異解の定性的性質に関する研究に着手することができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
優 Sobolev 臨界における非線形楕円型偏微分方程式の特異解の定性的性質を明らかにするとともに、関連する放物型偏微分方程式、走化性非線形系に対しても研究を進めたい。そのために指数関数を非線形項に持つ楕円型方程式の解構造を明らかにしたい。
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| Causes of Carryover |
後方自己相似解の漸近的性質に関して新しい知見が得られ、その詳細についての理解のため時間を費やした。そのため３０年度に予定していた研究打ち合わせを３１年度に行うこととしたため、今年度の研究打ち合わせ旅費に未使用学が生じた。それらは３１年度に研究打ち合わせの経費に充てることとしたい。
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