2020 Fiscal Year Research-status Report
非線形拡散反応系における漸近展開法の開発とその応用
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17K05334
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
辻川 亨 明治大学, 研究・知財戦略機構(生田), 研究推進員(客員研究員) (10258288)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 反応拡散方程式 / 分岐理論 / 特異摂動法 / 特殊関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
自然現象を記述する数理モデルの中で反応拡散方程式について、その定常解や周期解、及びその安定性を含めた解構造を決定することは重要な問題である．１つの例として、有界区間でNeumann境界条件のもと、非局所項を持つAllen-Cahn-Nagumo方程式の定常解の構造について、拡散係数とL^1量をパラメータとして、分岐理論と完全楕円積分による解表示を用いて考察する．この方程式の解法は反応拡散系の解構造を解明する端緒となる問題でもある．
具体的には、定数解から1次分岐が起り対称解が出現し、拡散係数が零まで解が大域的に存在すること、その過程で2次分岐が起り非対称解が出現し、それも拡散係数が零まで存在することを示した．今年度は1次分岐解である対称解の安定性を考察し、1次分岐直後の解は不安定であるが、2次分岐点を過ぎると安定性を回復する、より詳しくは線形化固有値問題において固有値はすべて実数であり、最大固有値のみが正から負に2次分岐点を過ぎるとこで符号を変化させ、それ以外の固有値はすべて負となる．方程式の定常解を用いて、線形化固有値問題の固有関数が表示できるという事実に基づいて証明した．一方、２次分岐解の安定性について、特異極限法により拡散係数が十分小さい場合には実部が正の固有値がただ１つ存在することを示した．
次に、２つの対立する遺伝子をもつ生物の個体数変化を記述する”完全優位性”の場合のモデルの１つがNagylakinにより提唱された．このモデルは、空間依存性のある退化型Logistic増殖項をもつ単独反応拡散方程式である．空間依存の条件を符号が変化する関数として導入し、その積分条件により定常解の存在及び安定性が議論されている．そこで、パラメータ付きの具体的な関数を用いることで、すでに得られた解をこのパラメータに関する定数解からの分岐として捉えることを目指す．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
非局所項を持つAllen-Cahn-Nagumo方程式の解構造について、定数解から1次分岐が起こり対称解が出現し、拡散係数が零まで大域的に存在する．一方、その過程で2次分岐が起こり非対称解が出現し、これも拡散係数が零まで存在する．対称解の安定性はすべて証明しているが、２次分岐解である非対称解の安定性の議論が残されている．特に2次分岐点から離れたところでの解の安定性を議論することは困難な場合が多い．
一方、ディリクレ境界条件のもとで同様の問題について、これまでの研究成果が応用できると考え研究を進めている．境界条件は異なるが、完全楕円積分を用いた解表示が可能であると予想している．また、大域的な解構造を数値的に求めているが、通常の分岐理論では扱うことができない新たな問題も含まれている．
走化性モデル方程式の縮約系である積分制約条件付き単安定スカラー方程式の定常解の大域的構造を決定する問題について、数値計算により定数解から１次分岐した解は安定であるがその後不安定化することを求めた．この時、Hopf分岐により安定な周期解が出現すると予想され、これも２次分岐現象と捉えることができる．しかし、１次分岐点から離れているため一般的に解析が難しい問題である．この周期解の出現と関連して、走化性モデル方程式の別の縮約系(Shadow System)から弛緩振動現象を数値的に得ている．同様の問題について、ヘテロクリニック軌道の存在を仮定した場合の結果はすでに公表されているが、Shadow Systemという方程式の特性を生かして、この仮定を課さないで証明を試みる．解に関する順序保全系ではないが、その考え方を応用した証明方法で進めている．
以上のことから、研究の進捗状況はおおむね良好であると判断できる．
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| Strategy for Future Research Activity |
非局所項を持つAllen-Cahn-Nagumo方程式の解構造について、定数解から1次分岐が起こり対称解が出現し、拡散係数が零まで存在する．一方、その過程で2次分岐が起こり非対称解が出現し、拡散係数が零まで大域的に解が存在すること、及び対称解の安定性を示した．また、2次分岐解の安定性については、拡散係数が小さい場合を除いて安定性が示されていない。そこで2次分岐解はすべて不安定であることを示す．そのための準備として、完全楕円積分を用いた非対称解の表示を求め、拡散係数に関する解の一意性、及び2次分岐がsubcriticalであることも示す．これにより分岐点近傍で分岐解が不安定となる．次にディリクレ境界条件のもとでの同様の問題の考察を進めている．境界条件が異なるが、完全楕円積分を用いた解表示は可能であると予想している．そのためこれまでは単調解以外のすべての解の表示を求める．また、大域的な解構造を数値的に求めているが、通常の分岐理論では扱うことができない新たな問題も含まれている．
これまで研究してきた積分制約条件付きの微分方程式の解表示は汎用性があり、細胞極性モデルやFix-Caginalp方程式の解析に応用する予定である．
走化性モデル方程式の縮約系である積分制約条件付き単安定スカラー方程式について、定常解の大域的構造を決定するために、ある種のエネルギー量が十分小さい場合に定常解の最大値が発散しないことを示す必要がある．そのために解の陰的表示を詳細に評価する．一方、数値計算により定数解から１次分岐した解は安定であるが、その後不安定化する．この時Hopf分岐により安定な周期解が出現することを数値的に求めた．これも２次分岐現象と捉えることができるが、１次分岐点から離れているため一般的に難しい問題である．そこで２次分岐点を移動させる新たなパラメータを導入するなどの方法で解析を試みる．
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| Causes of Carryover |
繰越金が生じた理由は、年度末に計画していた研究集会開催のための経費及び出張がコロナウイルスの影響で中止になったことが主な原因である．
旧式となったノートパソコン及び論文作成のための画像ソフトの購入、及び中止となった研究集会の開催などを予定しており、次年度の計画を実行することで予算執行は可能である．
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Research Products
(2 results)
