2019 Fiscal Year Research-status Report
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17K05335
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| Research Institution | University of the Ryukyus |
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Principal Investigator |
眞野 智行 琉球大学, 理学部, 准教授 (60378594)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | モノドロミ保存変形 / 平坦構造 / 複素鏡映群 / パンルヴェ方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度より引き続き、平坦構造とそのプレポテンシャルを持たない場合への一般化、および線形微分方程式のモノドロミ保存変形との関係についての研究を進めた。今年度の研究成果について述べる。
1)本研究課題の最も主要なテーマは平坦構造と線形微分方程式のモノドロミ保存変形との関係を調べることである。平坦構造についてはプレポテンシャルあるいはポテンシャルベクトル場が基本的な量であり、モノドロミ保存変形についてはτ関数と呼ばれる関数が基本的な量である。これらの基本的な量の間の直接的な関係を調べることは非常に重要な問題である。これについて、プレポテンシャルの解析的構成およびそれを用いたτ関数の表示についての論文を執筆し、それが国際的論文集に掲載された。
2)前年度までに、複素鏡映群の自然表現についてその群作用に関する軌道空間上に(計量を持たない)平坦構造を構成したが、この構成を用いて複素鏡映群の鏡映面から定まる多重鏡映面配置が自由多重超平面配置になることを証明し、この結果についての論文が国際的学術誌に掲載された。またこの結果について学会などで招待講演を行った。
3)「代数的プレポテンシャルと実鏡映群の原始共役類が１対１に対応する」というDubrovinの予想と呼ばれる問題がある。この問題とその拡張について考察した。この予想についてある程度自然が解釈が得られ、2)の構成はコクセタ元(およびその複素鏡映群への拡張)の定める原始共役類に対応すると考えられることが分かってきた。しかし予想の解決には至らず次年度も引き続き研究を行う予定である。
また本年度は金沢大学において本研究課題で得られた内容に関する集中講義および講演を行った。これは本年度までに得られた成果についてまとめ・整理し、今後の見通しを得るうえでも良い機会であった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
今年度は研究成果の執筆や論文の学術誌への掲載および集中講義や学会での講演など、主にこれまでの内容をまとめたり整理して発表するという作業が多かった。新しい問題についても取り組んだが、ある程度の考察は行ったものの、未だ解決に至るような確定結果が得られていない。
このような理由から「やや遅れている」という自己評価を行った。
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| Strategy for Future Research Activity |
次年度も引き続き、平坦構造とそのプレポテンシャルを持たない場合への一般化、および線形微分方程式のモノドロミ保存変形との関係について研究を進めていく。
プレポテンシャルを持たないポテンシャルベクトル場に対応する平坦構造について、それに対応する線形微分方程式のモノドロミ保存変形のτ関数の解析的構造を調べる研究を行う。これまでに得られた結果では線形微分方程式に含まれる確定特異点での特性指数に対応するパラメータに関する制限が付いているので、この制限を外したらどうなるかという研究と、一方でパラメータに関する制限がいかなる意味を持つかについて考察を進めていく。その際、τ関数の解析的構造については他の研究者らによって全く異なる手法で結果が得られているので、それらの結果と比較を行うことが一つの指針を与えるように思われる。
またDubrovinの予想およびその一般化についての研究を行う。Dubrovinの予想は実鏡映群に関するものだが複素鏡映群への拡張も併せて考察したい。これは複素鏡映群の表現論と密接に関係することが予想される。
今後は平坦構造の離散化についても研究したい。これは従来の課題とは少し方向性が異なる問題で困難な部分も多いと思われるが非常に興味深い問題であり、現在までの予備的考察で少しではあるが道筋が見えつつある。今後この課題についても研究を進めたい。
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| Causes of Carryover |
参加予定だった学会が新型コロナウィルス感染拡大の影響により中止となった。
次年度、学会及び研究集会参加のための旅費として使用する。
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