2021 Fiscal Year Research-status Report

平坦構造の一般化とモノドロミ保存変形

Research Project

Project/Area Number	17K05335
Research Institution	University of the Ryukyus
Principal Investigator	眞野智行琉球大学, 理学部, 教授 (60378594)
Project Period (FY)	2017-04-01 – 2023-03-31
Keywords	平坦構造 / 微分方程式 / モノドロミー
Outline of Annual Research Achievements	前年度より引き続き、平坦構造とそのプレポテンシャルを持たない場合への一般化、および線形微分方程式のモノドロミ保存変形との関係についての研究を進めた。今年度の研究成果について述べる。 1)本研究課題の最も主要なテーマである平坦構造と線形微分方程式のモノドロミ保存変形との関係について、これまでの研究で得られた成果などをまとめた専門書の執筆を行った。この原稿を書き進める過程で「Okubo-Saitoポテンシャルの空間」という新しい概念が発見された。この概念を中心として理論構成の抜本的な書き直しを行った。 2)well-generatedな複素鏡映群の自然表現についてその群作用に関する軌道空間上に(計量を持たない)平坦構造を構成したが、この構成を用いてwell-generatedな複素鏡映群の鏡映面から定まる多重鏡映面配置が自由多重超平面配置になることが証明されていた。この結果についてもOkubo-Saitoポテンシャルの空間に対する重さの変換という観点からまとめられることが分かってきたので、書き直しを行った。 3)本研究課題の成果である平坦構造と線形微分方程式のモノドロミ保存変形との関係を利用して、パンルヴェ方程式の解と平坦構造を結び付けることができる。この関係を利用すると、パンルヴェ方程式の解に対して定まる 3つ組(M,D,Δ)が不変量を与えることが分かった。これは昨年度得られた見地をより精密化したものと言える。パンルヴェ方程式より(真に)簡単なガウスの超幾何方程式の場合に 3つ組(M,D,Δ)を正確に求め、Okubo-Saitoポテンシャルの空間を求めてみた。これは今後の研究を行う際の方向性を示す指針を与える例となるであろう。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 3: Progress in research has been slightly delayed. Reason 今年度は、専門書を執筆する過程において Okubo-Saitoポテンシャルの空間という最も重要な概念を見出すことができた。これは、今までの理論構成を整理し、より大きな研究につながる可能性を持ったものである。Okubo-Saitoポテンシャルの空間の観点から研究課題を見直す必要が生じ、具体的な研究結果を出すという面からは少し遅れが生じている。また、well-generatedな複素鏡映群の鏡映面から定まる多重鏡映面配置が自由多重超平面配置になるという結果について、Okubo-Saitoポテンシャルの空間の観点からの見直しができたが、それを用いて新しい結果を得るという段階にまではまだ至っていない。パンルヴェ方程式の解と平坦構造の判別式との関係についてもいくつかの具体例についての考察は行ったが、まとまった結果を得るためにはさらに研究を進展させる必要がある。研究環境についても、新型コロナ感染拡大の状況により国内あるいは海外への移動によって研究連絡を行うといったことが上手くできなくなっており、研究の進展にやや遅れが生じている。このような理由により「やや遅れている」という自己評価を行った。
Strategy for Future Research Activity	次年度も引き続き、平坦構造とそのプレポテンシャルを持たない場合への一般化、および線形微分方程式のモノドロミ保存変形との関係について研究を進めていく。様々な例を Okubo-Saitoポテンシャルの空間の観点から見直してみたい。特に複素多様体の変形族に関する例や、アフィンルート系あるいは楕円ルート系に対する平坦構造の構成を Okubo-Saitoポテンシャルの空間の観点から見直すことは大変興味深く、新しい展開が生み出される可能性が感じられる。また、平坦構造の離散化の問題や超平面多重配置の自由性と Okubo-Saitoポテンシャルの空間との関係についても研究を進めたい。
Causes of Carryover	新型コロナ感染拡大の状況により、各種の学会、研究集会などが中止あるいはオンライン開催となったため、旅費に使用する予定が大幅に変更になった。次年度に旅費としてあるいはオンライン会議参加用の設備増強のために使用する予定である。