2017 Fiscal Year Research-status Report
Research on the variational problems under various growth conditions on the functionals
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17K05337
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
立川 篤 東京理科大学, 理工学部数学科, 教授 (50188257)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 変分問題 / 解の正則性 / 部分正則性 / 非標準的増大度 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非標準的増大度(Non-dtandard Growth)をもつ汎関数を適当なソボレフ空間において局所的に最小化する関数の正則性に関する研究が本研究の主題である．２９年度は，非標準的増大度を持つ汎関数のうち，特に，べき乗関数とある程度近い振舞いをするN-関数と呼ばれる関数Φに対して，Φ-growthと呼ばれるタイプについて，その局所的最小点となる関数の部分的内部正則性，すなわち，定義域として与えられている領域の内部において，ハウスドルフ次元が小さい集合を除いた開集合上での正則性を研究した．
まず，ナポリ・フェデリコ２世大学数学科のFlavia Giannetti助教, Antonia Passarelli di Napoli准教授と共に，Φの中に，未知関数uの微分Duの，楕円牲条件を満たす連続な関数からなる行列を係数行列とする２次形式の平方根(以降 A(Du)と表すこととする）を入れた形のものの積分∫Φ(A(|Du|))dxで与えられる汎関数を局所的に最小化する関数の内部部分正則性に関して，予想される最良の結果を得ることができ，専門誌Annai di Matematica Pura ed'Applicataにおいて論文として発表した．さらに，上記２名のほか，カターニア大学数学・情報学科のMaria Alessandra Ragusa教授も加えて，前出のΦ(A(Du))のp(x)乗の積分で与えられる汎関数に関して研究し，同様の結果を得てた．これも論文として発表した．こちらは専門誌Calculus of Variations and Partial Differential Equation に掲載された．いずれの結果も，これまで知られてい∫Φ(|Du|)dxという形の汎関数に対する結果の適切な一般化となっている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
当初計画では，Φ(A(|Du|))のp(x)乗の積分で与えられる汎関数に関しては，本課題研究の２年度目以降に扱う予定であったが，思ったより順調に研究がすすみ，内部部分正則性に関しては，初年度（２９年度）においてすでに結果が発表できてた．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでははΦ-growthの汎関数の最小点となる関数の領域内部における部分正則性，すなわち内部部分正則性に関する研究のみをおこなってきたが，これらが一段落したので，今年度は境界上での正則性に研究の焦点をあてることとする．
またdouble phaseと呼ばれるタイプの汎関数に対する研究も本格化したい．
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| Causes of Carryover |
当初ノートパソコンを購入予定であったが，今年度は見送ったため，次年度使用額が生じた．ノートパソコンの購入は翌年度に予定してる．
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