2018 Fiscal Year Research-status Report
Real analytic research on the Navier-Stokes equations on exterior domains with external force
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17K05339
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Research Institution | Waseda University |
Principal Investigator |
山崎 昌男 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20174659)
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Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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Keywords | Navier-Stokes方程式 / 外部領域 / 定常解 / エネルギー不等式 / 解の一意性 |
Outline of Annual Research Achievements |
前年度に引き続き、2次元外部領域における定常Navier-Stokes方程式の境界値問題を、境界値が非自明で外力がある場合についての考察を行った。この問題はDirichret積分が有限なku弱解の存在の考察が一般に行われているが、この手法では解の一意性が得られず,解の遠方での減衰も成り立たないと言う困難がある。 前年度は境界値が小さい場合のみ考察にとどまっていたが、今年度はデータの大きさについて一切の条件を課さずに弱解の存在を示し多。この解は必ずしも無限遠方で0に収束しない。 また境界からの全流出入量が十分小さい場合には、境界値や外力がいかに大きくとも、解が全流出入量を考慮に入れたエネルギー不等式をみたすことを示した。境界値が大きい場合を取り扱う際に、境界値の影響を打ち消す修正函数を中心とする球についてSchauderの不動点定理を用いることが本質的であった。 また境界値が十分小さく、十分に速く減衰する小さい解が存在する場合には,上のエネルギー不等式をみたす弱解はいかに大きくとも,もとの小さい解と一致することを示した。 さらに全てのデータが点対称である場合に,点対称な解が得られ、この解はある意味で無限遠方で0に収束することを示した。さらに境界値が十分小さい場合、ある程度速く減衰する小さい点対称な解が存在する場合には、エネルギー不等式をみたす点対称な弱解は元の小さい解と一致することを示した。ここで比較対象を点対称な弱解の限定すれば、あらかじめ小さい解に課す減衰条件は一般の場合より緩く,自然な条件である。 以上の研究成果はJournal of Mathematical Fluid Mechanics 20 (2018), 2019--2051にて発表した。
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Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
定常問題についてはおおむね満足すべき結果が得られているが、エネルギー不等式が一般に成立することは技術的に難しく、成功が得られていない。 また非定常問題については、減衰条件をみたす小さい解の存在を示す枠組みと、大きい解の存在を示す枠組みに大きな乖離があり、統一的な枠組みを設定できていない。これを求めることが現在の大きな課題である。
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Strategy for Future Research Activity |
エネルギー不等式を一般的に示すためには、形式的には定義できない量を、解のみたす代数的な条件を用いて定義することで解決可能である可能性がある。 非定常問題についての統一的な枠組みについては、Maximal Regularityの理論を用いて適切な函数空間を設定できる可能性がある。
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Causes of Carryover |
海外の研究集会において研究成果を発表する予定であったが、適切な機会がなく、使用することができなかった。今後は適切な機械を用いて海外で研究成果を発表する予定である。
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