Real analytic research on the Navier-Stokes equations on exterior domains with external force

2022 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 17K05339
• Research Institution: Waseda University
• Principal Investigator: 山崎 昌男 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20174659)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: Navier-Stokes方程式 / 対称性 / 時間周期解 / 概周期解 / 補間理論 / Lorentz空間

Outline of Annual Research Achievements

2次元外部領域上の定常 Navier-Stokes について、これまで解の存在は知られていたが、３次元以上で見られるような基本解と同程度の減衰を持つ定常解の存在は知られていなかった。一般にはこのような解は存在しないと考えられる。
この問題について、９０度回転の生成する群について同変であるというベクトルについての対称性を導入した. この対称性は今まで考えられていた軸対称の生成する群についての同変性とは本質的に異なるものである。
ついで90度回転について不変な平面上の外部領域上の定常問題について大きさの制限のない外力と境界値がある場合のエネルギー不等式をみたす弱解の存在を構成的に示した、さらに外力と境界に上に導入した対称性を持つ場合は構成した解も同様の対称性を持つことを示し, さらにより一般的な対称性を持ち、エネルギー不等式をみたす弱解は上に構成したものと一致することを示した。
さらに外力が時間に依存する場合にも考察を進め、以前に考えた全平面における定常問題の一般化としてancient solution の問題を考えた。すなわち特に先に導入した対称性を持つ外力が全時刻で存在いて遠方で減衰しないしない場合に、同様の対称性を持つ外力が全時刻で一意的に存在することを示した。この問題は特に外力が時間について周期的である場合やしかれべき位相について概周期的である場合を含む。このためにはしかるべき重みのついたローレンツ空間を導入し、その空間における補間理論を用いた。