2017 Fiscal Year Research-status Report
Information geometry on deformed exponential probability distributions
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17K05341
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| Research Institution | Ibaraki University |
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Principal Investigator |
和田 達明 茨城大学, 工学部, 教授 (00240549)
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2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 情報幾何 / 変形指数型分布 / エスコート分布 / 双対平坦 / 統計多様体 / 共役表現 / 一般化エントロピ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
指数型分布を一般化した変形指数型分布に関する研究が、一般化エントロピに基づく統計力学の拡張に関連した様々な分野において進展しつつある。情報幾何は、指数型の確率分布族に対して適切なはめ込み写像であるα表現を用いて構成された統計多様体上の微分幾何構造（Fisher計量、α接続など）に基づく枠組みであり、主として推定、統計、機械学習などの分野において発展してきた。情報幾何において非常に重要な幾何構造として、双対平坦性が良く知られている。ある特定の変形指数型分布（具体的にはκ-指数型分布やq-指数型分布）に対して2重あるいは多重になって双対平坦性が現れる（多重双対平坦性）という、研究代表者等によって新たに見い出された成果に基づき、本研究では一般的な変形指数型分布に対しても2重あるいは多重双対平坦構造が存在するかどうかを明らかにすることを主目的としている。
初年度の研究成果として、最初の目標である「変形指数型分布から適切な統計多様体を構成するために必要な、統計多様体上へのはめ込み写像（or共役表現）を見出すこと」に成功した。情報幾何におけるα表現を拡張したZhangによる"共役表現"を利用することで、変形指数型分布族に対する適切なはめ込み写像（or 共役表現）を具体的に求めることができた。その成果と関連する結果を論文としてまとめて投稿し、学術誌(Entropy誌）に掲載されている。
また、変形指数型分布の具体例のひとつとして知られているκ-指数型分布が、統計力学における基本的な正準分布として出現するメカニズムとして、浅いポテンシャル中に閉じ込められた熱的粒子の停留確率分布がκ-指数型分布で表されることを見出した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
初年度の目標である「変形指数型分布から適切な統計多様体を構成するために必要な、統計多様体上へのはめ込み写像（or共役表現）を見出すこと」を、”共役表現”を利用することで達成することができ、順調に進展している。
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| Strategy for Future Research Activity |
初年度に得られた研究成果である「適切な統計多様体を構成するために必要な共役表現」に基づき、変形指数型分布に対する統計多様体上で成立する2重（あるいは多重）双対平坦構造とエスコート期待値との関係について更に研究を進めていく。また、関連分野との対応関係についても理解を深めていく。例えば、i) 一般化エントロピに基づく統計力学や関連する統計物理の拡張; ii) 接触幾何やシンプレクティック幾何との対応関係; iii) 変形指数型分布に対する一般化統計力学や情報幾何に関連する研究と関連の深いワッサーシュタイン幾何による最適輸送などの分野について、各分野の研究者と議論を交わし、更なる研究の推進に繋げる。
また、必ずしも統計的に独立とは言えないデータに付随する確率分布に対しての統計的なアプローチとして、変形指数型分布に基づく従来の統計的手法の拡張に関する研究がなされている。そこで、数理統計や機械学習分野の観点からの議論を平行して進めることで、本研究における主対象である2重（あるいは多重）双対平坦についての理解を更に深めることが期待できる。
また、先行研究として名工大の松添教授（専門：幾何学、情報幾何）との共同研究において、変形指数型分布に付随するエスコート分布に基づく統計的独立性の一般化に関する研究成果が得られており、この観点からも、一般化統計力学における漸近的ベキ型確率分布である変形指数型分布に対する統計多様体上での幾何構造に対する理解が得られるものと期待している。
前年度同様、本研究を通じて得られた成果について、国内の情報幾何学とその周辺に関する研究会や国際会議において発表を行い、学術論文として投稿を行なっていく。
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| Causes of Carryover |
当初予定していなかった年度末（3月）開催の国際会議にて発表できることが年末(12月）に決定したため、その時点での予算を旅費等に充てた。そのため、当初予定していた物品が年度内に購入できずに次年度使用額が生じた。
今年度に、当初予定していた物品を購入する。
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