2018 Fiscal Year Research-status Report
モデル理論におけるShelah予想とその解決に向けた研究
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17K05342
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
坪井 明人 筑波大学, 数理物質系, 教授 (30180045)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
塩谷 真弘 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (30251028)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | モデル理論 / 有限モデル理論 / コンパクト性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
有限モデル理論（finite model theory）は，有限構造の一般論を展開する学問領域である．数理論理学における（通常の）モデル理論が主に無限の構造を想定していることとの違いがそこにある．
モデル理論におけるもっとも重要な方法が，コンパクト性(compactness)を用いた議論である．コンパクト性は，理論 T の任意有限部分がモデルを持てば，T 自体がモデルを持つことを主張する．しかしながら，任意有限部分が有限モデルを持ったとしても，T自体が有限モデルを持つことは期待できない．したがって，有限モデル理論で頻繁に主張されることは，「コンパクト性を使うことができないので，別の議論を考える必要がある」ということである．
この主張は，ある面では正しい主張であり，有限の世界の性質を有限の世界の中だけで証明することは意義がある．しかし，有限構造の無限クラスに関する性質を議論する場合は，コンパクト性は変わらず有効な議論の方法となる．我々は，既存の有限モデル理論の定理（グラフのクラスに関するもの）のいくつかに対して，コンパクト性を用いた簡潔な証明を与えることに成功した．またその拡張も行った．
既存の結果：C を連結な有限グラフ全体のクラスとする．Cを規定する monadic second-order sentence は存在しない．
既存の証明方法は特定の有限ゲームを構成し，その必勝法が存在することを示している．これに対して我々の方法は無限を用いた背理法によるもので全く異なる方法論となる．コンパクト性を用いて，自然数全体の構造Nの超準拡大を構成して，そのなかで超有限グラフに対して議論を行い，同型だが性質が異なる二つのグラフを構成することとなる．さらに議論を行い，理論Tを満たすacycle なグラフに対して，同様の結果を得た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
課題の遂行のためには，一様列（indiscernible sequence）の研究が不可避である．一様列は，列の中の有限部分集合が，場所に寄らず一定のタイプを持つ列として定義される．その存在には，モデルの飽和性を用いる．
現在は，研究実績の項目で述べたように，一様列の存在を用いて超有限構造（再帰的飽和構造）に対する研究を行っている．課題で解決を目指そうとしている予想に関しては，更なる探求が必要となり，別の視点からの研究が必要になると思われる．
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| Strategy for Future Research Activity |
有限モデルのクラスに対する表現不可能性の研究を引き続き行う．
有限ゲームに対する必勝法の存在と無限構造における往復論法（back-and-forth argument）の関連を明らかにすることが，重要と考えている．有限モデル理論ではいくつもの見かけ上異なるゲームが存在するが，多くの場合，単純な往復論法で回避可能だと考えている．特にmonadic secon-order論理式での表現可能性について考察する場合，２階部分の存在は，単なる部分集合の存在ではなく，N* でコードされた集合の存在が必要となる．この点を踏まえた研究の方向性を持ち，研究を継続する．
またNIP理論における一様列の研究も継続する．
研究成果は，国内外の研究集会で発表をして，関連する研究者と議論を行い，結果の精密化を行う．議論を踏まえて論文を執筆する予定である．
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| Causes of Carryover |
研究成果をまとめて研究発表をする予定でいたが，新たな知見を加えてまとめ直すことがより研究遂行のために有益と考えて，海外での発表を行わなかったため当該年度の旅費の支出が減った．2019年度は，研究成果の発表を頻繁に行い，また海外からのLachlan予想の研究者（可算モデルの個数に関する研究者）を招聘する予定であり，この目的のために「次年度使用額」を有効に使用して研究を遂行する予定である．
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[Book] 集合入門2019
Author(s)
坪井明人 塩谷真弘 佐垣大輔
Total Pages
155
Publisher
牧野書店
ISBN
978-4-434-25796-4
