2021 Fiscal Year Research-status Report
モデル理論におけるShelah予想とその解決に向けた研究
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17K05342
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
坪井 明人 筑波大学, 数理物質系(名誉教授), 名誉教授 (30180045)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
塩谷 真弘 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (30251028)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | モデル理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Shelahのモデル理論の研究においては，完全な理論(complete theory)を本質的な分割線で分類して，それぞれの場合に対して深い考察を行う手法が使われている．安定性(stability)と非安定性(instability)による分割は特に重要であるが，非安定性を持つ理論は，さらに独立性(independence property)または強い意味での順序性(strict order property)(以下SOPと略記)のいずれかを持つことが知られている．例えば順序極小理論はSOPを持ち，ランダムグラフ(random graph, Rado graph)の理論は，独立性を持ち，Peano公理の任意の完全拡大は，両方の性質を持っている．
本研究では，この SOP を持つ理論において，どの程度たくさんの独立な（強い）順序性が存在するかについて考察を行った．ここで言う独立性は，論理式による2次元マトリクスにおいて，縦方向は（強い）順序性を持つ論理式集合が実現されていて，横方向の任意のパスが常に解を持つような論理式集合の存在によって定義されている．
本研究は Shelah の「Classification Theory」におけるモデル理論的普遍量 κ_srd との深い関係性がある．κ_srd において，さらにその個数（基数）を実現する論理式集合の自由変数の数に注目した場合に，その変数の数に関して，ある種の加法性が成立することを示した．特に ∞ 個の独立順序が存在する場合は，その実現は１変数で行われることが分かった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
研究者間での連絡を ZOOM 等で行っているが，直接会ってのディスカッションがなかなかできず，アイディアの相互共有に通常以上の時間を要しているため．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究推進の方向性としては，モデル理論的普遍量には，κ_srd 以外にも重要なものがあり，それらについての研究をさらに進める．また，それらの実現をする論理式集合Σ(x)において，x の長さ(|x|)が１で十分な例は数多く存在している．その本質的理由の考察も研究する必要があると考えている．すなわち，ある一定の条件(*)を満たす Σ の場合は，|x|=1 とできるような (*)を見つけることが重要と考える．
技術的側面においては，ペンタブレット等の通信環境の改善により，同じ問題意識を持つ研究者間の連絡をよりスムーズにする必要性を感じている．また，モデル理論東京セミナーでの発表により，批判的意見も取り入れて，研究を進めてゆく．
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| Causes of Carryover |
研究打ち合わせのために，研究集会および学会に参加する予定でいたが，Covid の影響でZOOM開催および中止になったものが数多くあり，現地での直接の議論ができなくなったため．
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