2017 Fiscal Year Research-status Report
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17K05344
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| Research Institution | Shiga University of Medical Science |
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Principal Investigator |
川北 素子 滋賀医科大学, 医学部, 准教授 (80467373)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 有理点 / Serre上界 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
代数幾何符号が発見されて以来、有限体上において多数の有理点をもつ代数曲線の研究が盛んになっている。その中で、最大曲線について多くの具体例が発見され、様々な角度から研究され、色々な性質が分かって来た。しかし、最大曲線でないSerre上界に達する代数曲線について、具体例が大変少ないため、性質がよく分かっていない。そのため、既知のものを詳細に分析することから取り掛かった。
まず、以前自分が発見したSerre上界に達する最大曲線でない具体的な代数曲線について、その性質を調べた。例えば、同型群の成分を与えた。それにより他の代数曲線と同型かどうか判断し易くなる。また同型写像を利用したKani-Rosenの方法を用いて、Jacobian分解を計算した。Jacobian分解が得られると、他の代数曲線と同型かどうか比較し易くなる。
次に定義方程式が似ている代数曲線について、同型群を求め、Kani-Rosenの方法でJacobian分解を計算した。Jacobian分解して出てきた種数が小さい代数曲線について、効率良いアルゴリズムを構築した。有理点を数え上げる時、計算量が軽減されて、探索できる範囲が大幅に広がる。その時、代数曲線の特異点も求めて、探索に利用した。
現時点で、未だ新しいSerre上界に達する最大曲線でない代数曲線の発見に至っていない。しかし、最大曲線を発見した。この最大曲線は新しいものであるかは、チェック出来ていない。なぜなら、有理点数が同じ最大曲線は既に存在し、それと同型になるかどうかを判定するのは難しいことである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
最大曲線でないSerre上界に達する最大曲線の発見が目標であったが、未だ最大曲線しか発見出来ていない。Jacobian分解が予想以上に困難だったため、期待したような探索が広い範囲で実行出来なかったことが、遅れた理由である。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後、現在探索中の代数曲線について、まだ試していない同型写像を用いて、Kani-Rosenの方法を試みる。それにより、Jacobian分解を計算して、より種数が小さい代数曲線の積に分解させる。そして、アルゴリズムの更なる効率化を進めたい。
また探索中の代数曲線以外のものについて、同様の方法を試したい。けれども、Serre上界に達する最大曲線でない代数曲線の特徴が得られていないので、探索の候補を絞るとき慎重になる必要がある。同型群、Jacobian分解、特異点を参考にしたい。
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| Causes of Carryover |
探索用コンピュータの周辺機器の購入を予定していたが、研究室にあるものを再利用出来たので、次年度使用額が生じた。次年度は探索用のソフトウェアの購入に使用する。
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