2018 Fiscal Year Research-status Report
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17K05344
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| Research Institution | Shiga University of Medical Science |
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Principal Investigator |
川北 素子 滋賀医科大学, 医学部, 准教授 (80467373)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 代数曲線 / 有理点 / 符号理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
有限体上において多数の有理点をもつ代数曲線を構成できれば、効率のよい符号が構成できる。これはGoppaが発見した代数幾何符号の理論から導くことができる。近年最大曲線について多くの研究論文が発表されている。けれども最大曲線でないSerre上界に達する代数曲線について、解明が進んでいない。どれくらい存在するのか、予想できていない。本研究はそのような代数曲線を具体的な定義式で発見することを目指している。
本年度、まず６次平面曲線のなかで種数５以下となる一つのグループを構成した。このグループの代数曲線について、Kani-Rosen の方法を用いて、そのJacobianを種数２以下の代数曲線のJacobianに分解した。そうすることで、効率よくコンピュータ探索が実行できた。結果として、種数５の最大曲線でないSerre上界に達する代数曲線を６次平面曲線として具体的に得た。
次に６次平面曲線のなかで種数７のグループを構成した。このグループについて、Kani-Rosen の方法を用いて、そのJacobianを完全分解させることができた。さらに、グループのなかでコンピュータ探索を実行して、種数７の最大曲線でないSerre上界に達する代数曲線を６次平面曲線として具体的に得た。特にコンピュータ探索において、Zeta関数の理論を使うことで、高速なアルゴリズムが構築できて、それにより位数が大きい有限体上で実行することが可能となった。
種数５と種数７について、最大曲線でないSerre上界に達する代数曲線の存在は知られていなかったので、新しい成果だといえる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
種数５と種数７の最大曲線でないSerre上界に達する代数曲線について、存在が知られていなかった。今年度の研究で、それらを６次平面曲線で具体的に与えたことが大きな成果だといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後最大曲線でないSerre上界に達する代数曲線を新たに発見するため、今年度実施した種数５と種数７の場合の方法を拡張して研究を推進して行く。
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