2019 Fiscal Year Research-status Report
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17K05344
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| Research Institution | Shiga University of Medical Science |
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Principal Investigator |
川北 素子 滋賀医科大学, 医学部, 准教授 (80467373)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 代数曲線 / 代数幾何符号 / 最大曲線 / Serre上界 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
インターネットの発達により情報通信が身近な存在となっている。通信路の中での誤りを訂正するための理論が符号理論である。一方、純粋数学である有限体上の代数曲線が符号を生成するのに役に立つことがGoppaにより発見された。Goppaの理論を使うと、有限体と種数を固定したときに、有理点が多い代数曲線から効率のよい符号が構成できる。
しかし、実は有理点が多い代数曲線について、未知なところが多く残されている。有限体と種数を固定したとき、代数曲線が持ち得る有理点数についてHasse-Weil上界がある。それに到達する代数曲線は最大曲線と呼ばれる。最大曲線についてHermit曲線との関連で多くの研究がある。またHasse-Weil上界を改善したSerre上界がある。本研究はSerre上界に達するが最大曲線でないものの発見を目指している。どれくらい存在するかも知られていないので、どのようにアプローチするかの方針決定も難しい問題である。
ところが、それを目標に研究を進めていると、幸運なことに新しい最大曲線に出会うことがある。本年度はそのような最大曲線について、University of PerugiaのM. Giulietti氏、S. Lia氏、Technical University of DenmarkのM. Montanucci氏と共同研究を行った。その最大曲線について今までに知られていない性質を見つけることができた。共同研究者達は最大曲線について多くの知識を持っているため、自分にとって大変勉強になった。その中には、Serre上界に達するが最大曲線でない代数曲線を見つけるヒントが多々あり、今後の研究対象を絞るのに大変重要である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は、具体的なSerre上界に達する最大曲線でないものを見つけることはできなかった。しかし、新しい最大曲線を発見でき、その性質を解明した。この最大曲線の研究過程で、Serre上界に到達する代数曲線の中で最大曲線でないものにも共通する特徴を得た。本研究は手掛かりが少ないので、この特徴は今後の研究に大変に役に立つ。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度の最大曲線の研究で得られたSerre上界に達する代数曲線の特徴に絞って、有限体上の代数曲線のコンピュータ探索を行う。次年度は、まず探索範囲を絞ってから、探索アルゴリズムの問題点を改善したのち、効率良いプログラムで実装する予定である。
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| Causes of Carryover |
為替レートの変動により洋書購入の際に予定より安く購入できたため。
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