2018 Fiscal Year Research-status Report
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17K05347
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
千葉 周也 熊本大学, 大学院先端科学研究部(工), 准教授 (80579764)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 2-因子 / コード付き閉路 / ハミルトン閉路 / 次数条件 / 連結度条件 / ライングラフ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
１．指定した成分数の2-因子の一般化に対する次数条件
2017年度の研究で解析した「区間交換論法」による閉路の構成法と、「非交差辺による閉路分割」を組み合わせることで、1960年のOreによる「非隣接2頂点次数和」に関する十分条件（Amer. Math. Monthly）が指定した数のコード（閉路上の2頂点を結ぶ閉路上以外の辺）付き閉路へのグラフの分割の存在性を保証することを示し、1997年のBrandtらの結果（J. Graph Theory）の改良に成功した。これにより、ある条件下では、上記証明法によって完全グラフの緩和構造への分割の存在性を保証できることが明らかになったので、グラフの染色数などの新たな応用可能性も見出すことができた。また、本研究成果はTGT30などの国際会議にも採択された。さらに、2017年度に調査した「区間交換論法」による2-因子に対する「独立数と連結度の関係」、「独立点集合内の平均次数」、「独立点集合内の2頂点次数和」に関する研究成果が学術雑誌（Discrete Math., 2018）に掲載された。
２．指定した成分数の2-因子とハミルトン閉路の関係性
ライングラフ上の指定した成分数の2-因子に対する連結度条件を与えるために、ライングラフ上のハミルトン閉路と指定した成分数の2-因子の関係性について考察を行った。特に、位数の十分大きい最小次数6以上のライングラフ上では、ハミルトン閉路から指定した成分数の2-因子を構成できることを示した。これにより、2012年のKaiser-Vranaによる「ライングラフ上のハミルトン閉路に対する連結度と最小次数条件」の結果（European J. Combin.）を一般化することに成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
１．「区間交換論法」と「非交差辺による閉路分割」を組み合わせることにより、指定した成分数の2-因子の“一般化”の存在性を保証できることが明らかになったので、この証明法が他の類似問題解決への有効的なアプローチになり得るといえる。また、この証明法をさらに解析することで、１つの閉路から複数の閉路を構成する手法を確立できる可能性もあるので、既存のBrandtらの結果による方法とは異なった視点から成分数指定の2-因子問題の考察を期待できる。さらに、
２．ライングラフにおけるクラスでは、実際にハミルトン閉路から複数の閉路を構成できることがわかったので、この研究成果についてもさらに解析を行うことで、グラフのどのような性質が上記手法の確立に役立つものなのかを特定できる可能性がある。
以上のことから、２０１８年度に得られた成果は本研究課題に対する新たな知見を見出したといえるので、課題の解決および発展に繋がるものだと考えられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
１．現在までに得られた成果の証明法を用いることで他の類似問題について考察し、成分数指定の2-因子問題に対する新たな証明法の確立へと繋げる。特に、より強い性質をもった成分数指定の2-因子の存在性を考えた場合に、どのような変化が生じるのかを調査し、要求する2-因子ごとの差を整理する。また、有向グラフに対する類似問題についても考察することで、より広いグラフクラスに対する調査も進める。
２．２０１７年度および２０１８年度は主に密なグラフに焦点当てたが、「ライングラフ上の成分数指定の2-因子」に関する結果をもとに、疎なグラフにもより多くの目を向け、どのようなグラフの族が成分数指定の2-因子をもつかについて調査する。
３．前年度と同様に、得られた研究成果のうち未発表のものに関しては、２０１９年度中に論文としてまとめ挙げ、その結果を学術雑誌や国際会議を通して世に発信する予定である。さらに、学会・セミナー等に積極的に参加することで、他研究者と最新の研究情報の交換を行い、本研究課題の問題点・研究方針について議論をしていく予定である。
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| Causes of Carryover |
理由：２０１８年度の研究進度を考慮して、購入を予定していた設備備品・消耗品などを見送り、研究成果発表や他研究者との情報交換のための国内外旅費として優先的に使用したため。
使用計画：２０１８年度に得られた研究成果を２０１９年度に開催される大規模国際学会において発表するための費用の一部として使用する予定である。
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