2019 Fiscal Year Annual Research Report
The links between algebraic coding theory and matroid theory
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17K05348
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
城本 啓介 熊本大学, 大学院先端科学研究部(工), 教授 (00343666)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
千葉 周也 熊本大学, 大学院先端科学研究部(工), 准教授 (80579764)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | マトロイド / 臨界指数 / 線形符号 / 階数距離符号 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
代数的符号理論においてこれまで実施してきた符号の存在問題および構成法の研究を土台にして，マトロイド理論とネットワーク符号化理論における同種の問題を新たな視点から研究し，異なる分野間における統一的構造の理解と応用研究をより深めることを目的とする．具体的な研究課題は，(1)マトロイドの臨界指数 に関する極値問題の考察，(2) 接ブロックマトロイド の構成・分類，(3)準一様符号の構成およびその表現マトロイドの構造解析，の3つである．
最終年度においては，これまでに実施した計算データの収集や基礎理論研究をもとに，(1)，(2)，(3)の内容について、発展的研究を実施した． 課題ごとの具体的な成果については以下の通りである． (1)有限環上の符号について，新たに臨界指数の概念を導入し，限界式及びその等号を満たす符号の存在について証明を行った．(2)有限環上の行列を用いて接ブロックマトロイドを構成するための十分条件を導出した．(3)準一様符号から構成されるポリマトロイドについて，構造の解析及び臨界指数の上限界式を証明した．
その他の年度における主な成果は、以下の通りである．(1)禁止マイナーとして位数5の完全グラフをもつ2元体上の表現マトロイドの臨界指数の限界式に関するWalton-Welsh予想について，低い次元に関しては成立することを証明することができた．(2)接ブ ロックマトロイドの構成・分類問題に対して，符号の構成・分類問題の観点から，与えられた共有次元と表現体をもつ接ブロックマトロイドを生成行列とする線 形符号を具体的に構成した． (3)初年度において有限体上の階数符号に関して定義した一般化階数重みの概念をマトロイドへ拡張した．そのことで，Wei型の双対恒等式を証明することができた．
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