2018 Fiscal Year Research-status Report
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17K05349
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
藤沢 潤 慶應義塾大学, 商学部(日吉), 教授 (00516099)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 三角形分割 / タフネス / ハミルトンサイクル / 2-因子 / 完全マッチング |
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| Outline of Annual Research Achievements |
以下に本年度の研究成果について列挙する。
１）平面の三角形分割Gにおける三角形Tは、G-Tが2つ以上の連結成分を持つとき分離三角形と呼ばれる。ハミルトンサイクルを持たない1-toughな平面の三角形分割についてはChvatal, Nishizekiらによって議論されてきたが、それと関連してOzeki-Zamfirescuの論文で「ハミルトンサイクルを持たない1-toughな平面の三角形分割で、どの2つの分離三角形も頂点を共有しないものは存在するか」という問題が提起された。本研究においては、この問題が肯定的に解決された。
２）Thomassenが提起した「4-連結ライングラフはハミルトンサイクルを持つ」という未解決予想についてはこれまでに広く研究がなされてきた。この予想の部分的解決として、Kaiser-Vranaによって「5-連結で最小次数6以上のライングラフはハミルトンサイクルを持つ」という定理が示されている。本研究ではこの定理を2-因子へと拡張し、任意のkに対して「5-連結で最小次数6以上のライングラフは頂点数が十分に大きければ成分数kの2-因子を持つ」という定理を示した。
３）性質Pを持つグラフGとその頂点部分集合Xについて、G-Xが性質Pを持つときXをP-安定的と呼ぶ。本研究では、完全マッチングやtoughnessに関するいくつかの性質Pに対し、Gが閉曲面上の5-連結三角形分割の時、P-安定的な頂点集合 X_1, ... , X_k が互いに十分距離が離れているならば X_1 \cup ... \cup X_k もP-安定的となることを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度の研究では、特に閉曲面上の三角形分割について多くの知見が得られた。特に上記研究実績の概要における３）に関しては、対象となるグラフや性質を変えても同様の知見が得られることが予想され、今後の研究の広がりが期待できる。前年度の研究成果と合わせて、本研究は順調に進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
前年度・本年度とも着実に研究成果が得られており、基本的なアプローチは変えずに研究に取り組む。研究実績の概要における３）に関しては、上述のように今後の研究の広がりが期待できるため、特に力を入れて更なる知見の解明に努める。
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| Causes of Carryover |
国外の研究者との共同研究を計画していたが、先方のスケジュールの都合でその共同研究が実施できなかったため、次年度使用額が生じた。次年度において、国外の研究者の招聘に使用する計画となっている。
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