2017 Fiscal Year Research-status Report
単調正規空間とD-空間の問題に関する定常集合による集合論的考察
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17K05351
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| Research Institution | Kanagawa University |
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Principal Investigator |
矢島 幸信 神奈川大学, 工学部, 教授 (10142548)
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2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 単調正規空間 / 定常集合 / 積空間 / D-空間 / 無限積空間 / C*-埋め込み / C-埋め込み / P-埋め込み |
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| Outline of Annual Research Achievements |
位相空間の性質として代表的なものに正規性という概念がある。一般に2つの空間からなる積空間において正規性は保存されない。それ故に積空間の正規性は1950年以前から現在に至るまで70年間もの長きにわたり研究されてきた位相空間論の興味ある研究課題である。さて、単調正規空間は1975年に生まれた概念であるが、1992年に発表されたアメリカの著名な数学者BaloghとRudinの論文により多くの研究者の興味を引き付けることになった。単調正規空間の位相構造がその定常部分集合の入り方に依存して、集合論と密接な関わりがあることが判明したからである。代表者は研究機関が同じ所属である平田康史氏との共同研究を含めて、単調正規空間とある種の空間による積空間の研究において、2011年から現在に至るまで4編の論文を外国の専門誌Topology and its Applicationsに発表してきた。その総ページ数は90ページにも及ぶ。その中の最も長い論文（42ページ）は、上記専門誌の特別号として2015年に出版されたRudin追悼集に掲載された単調積空間のサーベイにも引用されている。
一方では偶然にも、D-空間も1970年代中頃に生まれた概念である。これは2000年代初めに発表されたロシアの著名な数学者ArhangelskiiとBuzyakovaの一連の論文に端を発して、多くの数学者の興味を引き付けることになった。それはD-空間に関する極めて単純な問題が未解決で、しかもその考察が集合論とも密接にかかわってきたからであろう。代表者は平田康史氏との共同研究で、無限積空間のD-空間性に関する論文を2015年にTopology and its Applicationsに発表した。その中でArhangelskiiのD-空間に関する一つの問題を解決した。この雑誌は掲載論文の読者の閲覧数を知らせてくれるが、この論文の閲覧数は異常に高い数値を示した。一流の数学者が興味を持つ単調正規空間やD-空間の論文は確かに注目度も高くなることを実感した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
上記のように注目される論文を書くには、注目度の高い研究課題を選ぶことが良いことは実感した。しかし、そのような研究課題には多くの著名な数学者が関与しているだけに、極めて競争が激しい一面がある。当然のことながら、今までにない独自の視点を見つけられない限り、容易に論文を書けないことも実感した。
現在は単調正規空間とD-空間からいったん離れることにして、本研究課題名の中にある定常集合の研究はそのまま継続することにしている。定常集合はもともと順序数空間の部分空間として重要な役割を演じる。そこで、２つの順序数空間の部分空間からなる積空間の研究へと移行した。このような積空間の正規性に関する研究は、1992年の家本、大田、玉野による論文に端を発している。その後、代表者も若干の研究結果はあるが、多くは家本氏の研究成果によるところが大きい。そこで、代表者は正規性の一般化であるC*-埋め込み、C-埋め込み、P-埋め込みに着目した。これらの関係は定義から「P -> C -> C*」の関係にある。平田康史氏との共同研究では、２つの順序数空間の部分空間からなる積空間において、C*-埋め込み閉部分集合がいつP-埋め込みになるかを研究した。結果として、なんとこれは無条件で成り立つことが分かった。それを研究成果として論文にしたものが、下記にある2017年の論文である。
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| Strategy for Future Research Activity |
2つの空間からなる積空間における3つの埋め込み（C*-埋め込み、C-埋め込み、P-埋め込み）の関係に関する研究は、静岡大学名誉教授の大田氏が大学院生時代から長い年月をかけて研究してきた研究課題である。特に、2000年に発表されたGutevと大田によるPrzumusinskiの問題の完全解決は、大田氏の研究の最高峰とよべるべき顕著な研究成果であった。従って、この方面の研究に追随していっても、大した研究結果が得られるとは思えない。そこで、思い切って無限個のファクター空間による積空間において、この3つの埋め込みの関係性を調べていく。残念なことに距離空間による無限積空間では、C-埋め込み性についてはPol夫妻の結果がある。そこで、距離空間の代わりにいくつかの一般距離空間に置き換えて、その無限積空間における3つの埋め込みの関係を考察していきたい。
Nを自然数による離散空間とする。Nの積空間と言えば、必然的に非可算個のNからなる積空間を意味する。Nの積空間は正規でないことが1948年に示された。それ以来、Nの積空間は単純ではあるが、中々に興味深い研究対象として登場してくる。特に、2014年のPol夫妻の論文で、Nの積空間のような基本的積空間でも、C*-埋め込みでC-埋め込みでない部分集合が構成された。今後はこの結果に関するいろいろな方向からの考察をしていくことを考えている。最も単純な積空間の考察を差し置いて、抽象的な積空間を考察するのは本末転倒のような気がするからである。そして、単純なだけに集合論の公理と関係していくように思える。
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| Causes of Carryover |
今年度予定していた出張を中止したために、その分を次年度の繰り越しとなった。
次年度にその分の出張を実施する予定である。
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