2023 Fiscal Year Annual Research Report
The study of Scheepers' conjecture on local properties of function spaces and special subsets of reals
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17K05352
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| Research Institution | Kanagawa University |
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Principal Investigator |
酒井 政美 神奈川大学, 理学部, 教授 (60215598)
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2017-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 関数空間 / Scheepers予想 / Menger |
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| Outline of Annual Research Achievements |
最終年度は、Gul'koの「Cp(Xp)とCp(Xq)が線形位相空間として同型であれば、XpとXqは同相になる（つまり、pとqはultrafilterとしてtype-equivalent）」という結果を踏まえて、同様の結果がPixley-Royの超空間PR(X)でも成立するのではないかと着想し、「PR(Xp)とPR(Xq)が同相であれば、XpとXqは同相になるか？」という問題を設定して証明を試みた。ここで、Cp(X)は位相空間X上の実数値連続関数全体に各点収束位相を入れた関数空間である。またPR(X)は位相空間Xの空でない有限集合全体にある種の位相構造を入れた位相空間である。結果として、PR(Xp)とPR(Xq)が同相であれば、ultrafilterであるpとqの間にRudin-Kiesler 順序が生成され、XpとXqの同相写像を誘導することが証明でき、設定した問題に対して肯定解を得ることができた。
研究期間全体を通じては、最終年度の実績以外には例えば次のような研究実績を得た：
(1) (2020年)「Cp(X)とCp(Y)が線形位相空間として同型でXがMenger空間であれば、YもMenger空間になるか?」という有名な未解決問題に対して、位相空間に弱い局所的性質を仮定すれば肯定的であることを示した、(2) (2018年) Bernal-SantosとTamariz-Mascaruaの関数空間Cp(X,2)のMenger性に関する研究結果に対して、Cp(X,2)のprojective Menger性の研究を通していくつかの改良を与えた、 (3)(2017年) 関数空間Cp(X)がprojective Mengerになるための特徴付けを与え、応用としてArhangelskiiの「Cp(X)がMengerであればXは有限空間である」という結果の簡略な証明を与えた。
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