2018 Fiscal Year Research-status Report
Fast Computation of Birkhoff Average along a Quasi-periodic Orbit and its Applications
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17K05360
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| Research Institution | Hitotsubashi University |
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Principal Investigator |
齊木 吉隆 一橋大学, 大学院経営管理研究科, 准教授 (20433740)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 準周期軌道 / バーコフ平均 / 時間遅れ埋め込み / 回転数 / ジーゲル板 / ジーゲル球 / 位相共役 / フーリエ級数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
回転数、リアプノフ数などをはじめとしてバーコフ平均は力学系の軌道に関するさまざまな量に関わっている。軌道長Nのバーコフ平均の収束スピードは一般に1/Nのオーダーである。しかし、研究代表者らは、準周期軌道上のバーコフ平均に対しては、理論的には1/(Nに関する任意の多項式)よりも速く収束する重み付きバーコフ平均を提案した。ここでは、無限回連続微分可能な重み関数を用いている。これは倍精度計算、4倍精度計算においても1/N^{15}から1/N^{25}程度のオーダーの収束を確認しており、従来手法の10^2倍から10^8倍程度の高速化を実現しており、既存の計算機性能、手法では行えなかった解析が行えるようになった。たとえば、回転数の高精度での決定、軌道のカオス性、準周期性の判別、軌道のフーリエ係数の高精度での決定などがその例である。
平成30年度には、観測時系列データは時間遅れ埋め込みと重み付きバーコフ平均を用いることで、射影された準周期的な観測時系列データから回転数を高精度で同定する手法を開発した。また、複素力学系のSiegel板に存する準周期軌道のフーリエ級数の減衰オーダーを調べて単位円板に対応させた場合の半径を見積もることによって、Siegel板の境界を形成する非常に複雑な形状をもつ準周期軌道を同定した。これらの結果は、論文
S. Das, Y. Saiki, E. Sander and J. A. Yorke, Solving the Babylonian Problem of quasiperiodic rotation rates, Discrete and Continuous Dynamical Systems Series S 12(8), 2279-2305, 2019.
Y. Saiki and J. A. Yorke, Quasiperiodic orbits in Siegel disks/balls and the Babylonian problem, Regular and Chaotic Dynamics 23 (6), 735-750, 2018.
として発表された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
準周期軌道の回転数を高精度で求めるための実用的な手法の構築に成功し、また、複素力学系のSiegel円板、Siegel球に存する準周期軌道の解析への適用にも成功するとともに、それらに関する論文の出版も行うことができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
高次元カオス力学系に存在する不安定準周期軌道の役割を明らかにするために重み付きバーコフ平均を適用する。特に、ある2次元写像の1パラメタ族を考察する。個々の準周期軌道はパラメタ変化に対してロバストには存在しないが、アトラクタのパラメタ変化を調べたところ準周期軌道の集合がロバストに存在することが期待されるため、その検証を行う。
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| Causes of Carryover |
当初予定より順調に研究が進んだために共同研究者のYorke教授との研究打合せを見送り、出張を2019年度に繰り越して研究の更なる進捗を図ることにした。
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