2020 Fiscal Year Annual Research Report
Fast Computation of Birkhoff Average along a Quasi-periodic Orbit and its Applications
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17K05360
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| Research Institution | Hitotsubashi University |
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Principal Investigator |
齊木 吉隆 一橋大学, 大学院経営管理研究科, 教授 (20433740)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 力学系 / 準周期軌道 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
力学系の軌道を大きく分類すると周期的，準周期的，カオス的なものがあり，ひとつの力学系に対して，複数種類の軌道が存在する状況はよくあり，軌道の判別が求められる場合は多い．準周期軌道はある意味中立的な状況であり，リアプノフ指数を用いた数値計算による判別の際に準周期軌道である示唆を得るためには0に十分近いという計算結果を得る必要がある．しかし，リアプノフ指数の計算において素朴に通常のバーコフ平均を適用した場合には，軌道長Nに対して誤差は1/Nのオーダーの収束であり，いくつか試みのある既存の改良手法の中には簡便でかつ収束の早いものは存在しなかった．研究代表者らが開発した準周期軌道上重み付きバーコフ平均は簡便な手法であるにも関わらず理論上は軌道長Nに対して誤差が1/(Nに関する任意の多項式）よりも早く収束する公式であり，実用上も1/N^20程度のオーダーで収束するため，現実的な数値計算で軌道の種類の高精度な判別が可能となった．すなわち，比較的少ない計算量で莫大な数の軌道のリアプノフ指数の絶対値が10^{-30}以下であるかどうかが判定出来るようになった．研究代表者はメリーランド大学のJames A. Yorke教授などとの共同研究によって前年度までに準周期軌道上重み付きバーコフ平均をヘテロカオスとよばれる不安定次元の異なる周期点が共存する写像の異なる多数の軌道に適用して得ていた．令和2年度は, 準周期軌道の集合が写像のパラメタ変化に対してロバストに存在することを示唆する準周期軌道上重み付きバーコフ平均を利用した数値計算結果に関する論文執筆を進めた．
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