2017 Fiscal Year Research-status Report
曲率によって動く曲線・曲面に対する数値計算アルゴリズムとその正則性・特異性
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17K05364
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
石井 克幸 神戸大学, 海事科学研究科, 教授 (40232227)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
高坂 良史 神戸大学, 海事科学研究科, 准教授 (00360967)
内藤 雄基 愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 教授 (10231458)
上田 好寛 神戸大学, 海事科学研究科, 准教授 (50534856)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 平均曲率流 / 近似問題 / 平均曲率一定曲面 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
曲率によって動く曲線・曲面に対する数値計算アルゴリズムやその正則性・特異性に関して、今年度は以下のような成果を得た。
代表者の石井は滑らかでコンパクトな平均曲率流に対する閾値型の近似アルゴリズムについて、その収束の速さと最良性について研究した。この問題は先行研究として石井--木村 (2016) によって最良評価が得られているが、今回は先行研究よりも簡単な証明を与えるとともに、最良評価に関してもより詳しい評価を与えた。空間曲線に対する曲率流の近似問題については、多少形式的ではあるが近似問題で構成される曲線が曲率流の近似になっていることを見た。現在は数学的な証明に取り組んでいる。
分担者の内藤は半線形楕円型偏微分方程式の正値解に対する先験評価について研究した。非線形項は優線形であり、非負な係数関数が乗じられている。係数関数の非零集合での適当な仮定と境界条件の有界性の下で正値解の有界性を導いた。また、一種の Liouville 型の定理も証明した。
分担者の高坂は unduloids と呼ばれる平均曲率一定な回転面に対する表面拡散に関する安定性を保証する条件を得た。関連して、表面拡散方程式に対する定常解の安定性と分岐問題について研究した。更に、体積保存型の平均曲率流に対する漸近挙動も調べた。
分担者の上田は消散項をもつ熱弾性体方程式に対する初期値問題の時間大域解の存在とその減衰評価を得た。非線形な対流項をもつ消散型波動方程式の解に対する漸近形を拡散波を表す関数を用いて求めた。更に、制約条件を持ち可微分損失を起こす方程式系について、素の解の最良減衰評価を導いた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
余次元の高い平均曲率流に対する閾値型近似アルゴリズムについては、現在は空間曲線の場合を考察している。空間曲線の場合には近似アルゴリズムの収束に関しては、反応拡散方程式等の研究でよく現れる定在波解に相当する特殊解を利用した証明について、その見通しや困難な点はある程度了解できている。しかし、より一般の余次元の高い平均曲率流の場合に関しては、まだ形式的な考察を行っている段階である。
表面拡散流や Willmore 流に関する閾値型近似アルゴリズムについては収束の証明を考える上で関連していると思われる論文等を収集しながら、それらを検討している最中である。特に、有限要素法や半線形反応拡散方程式を用いた表面拡散流や Willmore 流の近似において、変分構造や体積保存性を用いて考察しているものについて重点的に収集・検討しているが、思うように進んでいない。
閾値型近似アルゴリズムで構成される平均曲率流の弱解の正則性・特異性については、単調公式や Bochner 公式等を応用して研究するために半線形熱方程式の解の爆発解析や調和写像熱流に対する正則性評価に関する論文を収集・検討している段階である。
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| Strategy for Future Research Activity |
余次元の高い平均曲率流に対する閾値型近似アルゴリズムについては、空間曲線の場合に、上で述べたような特殊解を利用した収束の証明を進めていく。証明をする上で現れる困難な点に関しては、その都度、論文等を収集・検討しながら解決していく。より一般の余次元の高い平均曲率流の場合に関しては、形式的な考察を進めていき、ある程度見通しが立ったら数学的な収束の証明を研究する。
表面拡散流や Willmore 流に関する閾値型近似アルゴリズムについては、有限要素法や半線形反応拡散方程式を用いた近似問題の収束の証明を参考にしながら、関数解析的な方法や、変分構造や体積保存性をうまく用いながら、収束の証明を考察する。
閾値型近似アルゴリズムで構成される平均曲率流の弱解の正則性・特異性については、
非線形偏微分方程式の解に対する正則性評価に加えて、単調公式や Bochner 公式等を応用
することで弱解の正則性を調べる。解の特異性の解析については非線形偏微分方程式に対する爆発解析や単調公式等を応用して、その特異性の程度を調べ、特異点の周りでの曲面の形状を調べる。
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| Causes of Carryover |
計画していた国内出張に関する旅費が想定していた額より若干安くなったため。2018 年度分の助成金と合わせて、国内出張旅費に使う予定である。
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Research Products
(25 results)
