2019 Fiscal Year Research-status Report
曲率によって動く曲線・曲面に対する数値計算アルゴリズムとその正則性・特異性
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17K05364
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
石井 克幸 神戸大学, 海事科学研究科, 教授 (40232227)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
高坂 良史 神戸大学, 海事科学研究科, 准教授 (00360967)
内藤 雄基 愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 教授 (10231458)
上田 好寛 神戸大学, 海事科学研究科, 准教授 (50534856)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 曲率流 / 近似アルゴリズム / Willmore 流 / 表面拡散流 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
代表者の石井は空間曲線に対する曲率流、および Willmore 流の近似問題に取り組んだ。前者に関しては収束を証明する上でのいくつかの先験評価を得たが、まだ具体的な成果は得られていない。後者については分担者の高坂、三宅 (東北大学) との討論等を基に、高坂と 4 階熱方程式の解を時間変数に関する漸近展開を計算し、少なくとも形式的には 4 階熱方程式の解は Willmore 流の近似を与えることがわかった。
分担者の高坂は平面曲線に対する表面拡散流に対する進行波解について研究した。xy 平面において、x 軸上ではその両端は自由に動くが接触角が一定の曲線の場合、表面拡散方程式に対する進行波解の存在を示した。また、接触角の条件に応じて、一意性や凸性の成立・不成立を示した。
分担者の上田は熱力学的温度と伝導性温度が関わる熱弾性プレートの運動方程式について、その初期値問題の時間大域解が多項式オーダーで減衰することを示した。また、履歴を伴う板の運動方程式について、その初期値問題に対する時間大域解が多項式オーダーで減衰することとその際の解の漸近的な形状を求めた。
分担者の内藤は半線形放物型方程式について研究した。その初期値問題において、非線形項の指数が優ソボレフ臨界より大きく、かつ Joseph--Lundgren 指数より小さい場合に特異定常解より大きな 1 点爆発解が複数個存在することを示した。その中に最小解があることも示した。また、初期条件が有界連続、かつ無限遠方で多項式的に減衰する場合、半線形放物型方程式の解は方程式を自己相似変換して得られる定常問題の解を用いた自己相似解に漸近することを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
余次元の高い平均曲率流に対する閾値型近似アルゴリズムについては、空間曲線の場合を研究している。反応拡散方程式等で研究されている定在波解に相当する解を使って変換すれば、この近似アルゴリズムから空間曲線に対する曲率流方程式が得られることは確認している。その数学的な正当化を示すために初期曲線の近くでの熱方程式の解に対する詳しい漸近挙動を得たが、欲しい結果を得るにはかなり精密に計算する必要があり、その計算は石井が考えていた以上に複雑で予想以上の時間がかかってしまった。そのため、研究が思うように進展していない。より一般の余次元の高い平均曲率流の場合については、まだ形式的な考察を行っている段階である。
表面拡散流や Willmore 流に関する閾値型近似アルゴリズムについては、4 階熱方程式に対する初期値問題の解を時間変数に関して漸近展開し、その結果をうまく使うことによって、閾値を表す集合が Willmore 流の近似を与えることが形式的に分かったが、その計算に難航した。現在はそれを手がかりにすると同時に関連している論文等を収集しながら、数学的な収束の証明を検討している。特に半線形放物型偏微分方程式を用いた表面拡散流や Willmore 流の近似において変分構造や保存則を用いたものについて資料を集め、検討している。表面拡散流については問題が更に複雑なので、形式的な考察を続けている段階である。
閾値型近似アルゴリズムで構成される平均曲率流の弱解の正則性や特異性については単調公式や Bochner 公式等を応用して研究するために半線形熱方程式の解に対する爆発解析や調和写像熱流に対する正則性評価に関する資料を収集・検討している。
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| Strategy for Future Research Activity |
余次元の高い平均曲率流に対する閾値型近似アルゴリズムについては、空間曲線の場合には、特殊解を利用することで証明できることは予想できているので、その方針に沿って収束の証明を進めていく。証明をする上で現れる困難な点に関しては、その都度、論文等を収集・検討しながら解決していく。より一般の余次元の高い平均曲率流の場合に関しては、形式的な考察を進めていき、ある程度見通しが立ったら数学的な収束の証明を研究する。
表面拡散流や Willmore 流に関する閾値型近似アルゴリズムについては、有限要素法や半線形反応拡散方程式を用いた近似問題の収束の証明を参考にしながら、関数解析的な方法や、変分構造や体積保存性をうまく用いながら、収束の証明を考察する。
閾値型近似アルゴリズムで構成される平均曲率流の弱解の正則性・特異性については、
非線形偏微分方程式の解に対する正則性評価に加えて、単調公式や Bochner 公式等を応用することで弱解の正則性を調べる。解の特異性の解析については非線形偏微分方程式に対する爆発解析や単調公式等を応用して、その特異性の程度を調べ、特異点の周りでの曲面の形状を調べる。
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| Causes of Carryover |
次年度使用額が生じた理由 : 新型コロナウィルス感染症の影響が全国におよび、2020 年 2 月 -- 2020 年 3 月に予定していた出張をキャンセルせざるを得なくなったため。
使用計画 : 研究成果の発表やそれに関連する討論・研究打ち合わせを行うための旅費、及びそのための備品を必要に応じて購入する。
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