Analysis of functional equations describing dynamics of infectious disease

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 17K05365
• Research Institution: Okayama University
• Principal Investigator: 佐々木 徹 岡山大学, 環境生命科学研究科, 教授 (20260664)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: 応用数学 / 解析学 / 関数方程式 / 数理生物学

Outline of Annual Research Achievements

安定な平衡点を不安定化させうる要素として，時間遅れの効果がある事はよく知られている．ウイルスダイナミクス・数理モデルにおいては，ウイルスが感染時に標的細胞に吸収される効果 (吸収効果) も安定な平衡点を不安定化させうる事が知られている．また，免疫の効果を変数として加えないモデルにおいては，吸収効果を加えても平衡点の安定性に影響がない事も知られている．これらを踏まえた，時間遅れ，吸収効果，免疫変数の三者の，平衡点の安定性への影響についての研究において，免疫変数と吸収効果を取り入れたモデル，および吸収効果と時間遅れを取り入れたモデルの2つのモデルの内部平衡点の安定性に関する結果の拡張を行なった．この拡張は，たとえば反応項に質量作用の法則を仮定せずに，一般の関数に増減などの条件を課した形にしたモデルに対して平衡点の安定性を解析するというもので，これにより，考えている平衡点が内部に表われる際に，その平衡点が安定になり，他の平衡点が不安定になる様子が明確になった．
また，ウイルスダイナミクス・数理モデルにおいて，感染細胞が標的細胞を感染させるルートと，ウイルスが標的細胞を感染させるルートの2つのルートを取り入れ，更に肝臓の中と血液中のように， 2 つの場所 (コンパートメント) で感染が起こるという状況を記述した数理モデルに，更に齢構造と取り入れた数理モデルの解析を行なった．このモデルに対して，解軌道のコンパクト性，パーシステンスなどの議論を行ない，Lyapunov 汎関数を用いて，平衡点の安定性に関する結果を得た．

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

新型コロナウイルスの流行により，研究交流が制限された事により，研究の進捗に少なからぬ影響があった．リモートの研究集会は，ある程度まとまった研究結果を知るにはよいが，研究者どうしで詳細な議論をするには難しい点があると感じた．また，同じく新型コロナウイルスの流行により，担当している授業がほぼすべてリモート授業になり，慣れない事もあり，この準備にかなりの労力をかけざるをえなくなり，残念ながら，研究に支障が生ずる事になった．

Strategy for Future Research Activity

時間遅れ，吸収効果，免疫変数の3つの要素の，平衡点の安定性への影響についての研究においては，免疫変数と吸収効果を取り入れたモデル，および吸収効果と時間遅れを取り入れたモデルの2つのモデルに関しては，質量作用などを仮定せずに，一般の関数形に対して局所安定性を示す事が出来たが，時間遅れと免疫変数を取り入れたモデルに関しては，Lyapaunov 汎関数を用いる関係で，一般の関数形に拡張するのが難しい．このため，全体の議論のバランスに若干の問題がある．これを解決し，うまくストーリーを組み立てる方策を現在検討中である．
空間拡散を取り入れた, ウイルス・免疫相互作用の数理モデルの解析においては, 液性免疫の場合と細胞性免疫の場合の両方において， 複数ウイルス株数理モデルの解析を進める．ここでは，数学的に微妙な部分の細部をつめていくとともに， 全体の構成も整えたい．
ウイルスダイナミクスに2つのルート，2つのコンパートメント，および齢構造を取り入れたモデルに関しても，細部をつめ，全体の構成を整えて，論文を投稿する予定である．
局所安定性の解析に，Mathematica, Octave, Matlab を利用する方法については，時間遅れを取り入れないモデルに対しては，ある程度実用的に利用出来るようになったので，遅れのある微分方程式の解析法についても，数値実験も併せて研究に活用したいと考えている．

Causes of Carryover

新型コロナウイルスの関係で，研究集会がほぼすべてリモートになった事と，県を越えた移動に制限があった事により，旅費を利用する事が出来なかった．翌年度にはオープンアクセスのジャーナルへの投稿料にあて，研究成果の発表に役立てる予定である．