2017 Fiscal Year Research-status Report
A study on fixed point problems in metric spaces with geodesic structure and its applications
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17K05372
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| Research Institution | Tokai University |
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Principal Investigator |
高阪 史明 東海大学, 理学部, 教授 (20434003)
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2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 測地距離空間 / CAT(1)空間 / バナッハ空間 / 凸関数 / 不動点定理 / 不動点近似 / Bregman distance / 制約可能性問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
初年度は測地線の構造を持つ距離空間の曲率条件やバナッハ空間の単位球面の幾何的性質に関する不等式を調べるとともに、最小化問題や制約可能性問題などの非線形問題を不動点問題に定式化する方法について研究を行った。
以下では、今年度に得られた成果の概要を述べる。
1. バナッハ空間における滑らかな凸関数を用いて定義されるBregman distanceを用いることにより定義されるChatterjea写像の不動点問題の研究を行った。特に、二重数列の漸近挙動に関するSuzukiの補題を用いることにより、写像のasymptotic regularityを証明し、この結果を用いて不動点の存在定理と不動点への弱収束定理を得た。
2. 上に有界な曲率を持つ測地距離空間におけるproperで下半連続な凸関数の最小点近似法の研究を行った。ここでは、正接関数と正弦関数の積を摂動関数として用いることにより定義される凸関数のレゾルベントを用いて最小点近似列を構成し、最小点の存在性と最小点への収束定理を得た。
3. バナッハ空間における双対写像を用いることにより定義されるcutter写像の不動点近似定理を得るとともに、滑らかな凸関数を用いて定義される劣勾配射影を用いた制約可能性問題の近似解法の研究への応用研究を行った。この写像は閉凸集合上への距離射影や極大単調作用素のレゾルベントが有する性質を一般化したものであり、閉半空間への距離射影を用いて定義される劣勾配射影もその例である。
4. 上に有界な曲率を持つ測地距離空間における凸関数のレゾルベントが有する性質を抽象化することにより、vicinal写像とfirmly vicinal写像の概念を導入した。この論文では、これらの写像の基本性質や具体例について研究を進めるとともに、写像の逐次近似列の漸近挙動や不動点の存在定理を得ることができた。応用として凸最小化問題の解法の研究を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の研究計画に従い、測地距離空間やバナッハ空間におけるそれぞれの非線形問題を不動点問題に定式化する方法について多方面から研究を進め、幾つかの不動点定理や不動点近似定理を得ることができたため。これらの成果は、次年度以降の非線形問題の研究を進める上での基盤となるものである。
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| Strategy for Future Research Activity |
次年度は、測地距離空間やバナッハ空間の部分集合の凸性、有界性、完備性、曲率条件などの基本性質と不動点問題の関係性についての研究を継続するとともに、最小化問題、変分不等式問題、均衡問題などの非線形問題への応用研究も行う。
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| Causes of Carryover |
当初の計画よりも物品費及び旅費の支出を抑えることができたため。次年度の研究において必要な物品費又は旅費として使用する予定である。
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