2019 Fiscal Year Research-status Report
高次輻射補正に現れる発散を伴うマルチループのファインマン積分の完全数値的な計算法
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17K05428
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| Research Institution | High Energy Accelerator Research Organization |
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Principal Investigator |
湯浅 富久子 大学共同利用機関法人高エネルギー加速器研究機構, 計算科学センター, 教授 (00203943)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
加藤 潔 工学院大学, 教育推進機構(公私立大学の部局等), 教授 (50152707)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | ファイマン積分 / マルチループ / 紫外発散 / 次元正則化 / 多次元数値積分法 / 外挿法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、場の理論の摂動法による高次輻射補正計算に現れるファインマン・パラメータ積分（以下、ファインマン積分）を、ファインマン・グラフのトポロジー、内線の質量、外線の運動量によらず統一的な手法で取り扱う数値計算法を確立することである。
より精密な理論的予測値を得るために摂動の次数をあげると、ファインマン・グラフのトポロジーは複雑化して、内線の数、外線の数が増加する。これによりファインマン積分の被積分関数が複雑化し、積分の次元数も増えていく。また、電弱相互作用プロセスでは様々な質量を有する粒子が現れるため、解析的な方法で一般的に取り扱うことは困難である。我々の計算法を利用して精密な理論的予測値を得られれば、高精度化が進む素粒子実験と高い精度で比較することが可能となり、素粒子物理学における標準模型からのズレや標準模型を超える物理の研究に有効となる。
初年度および中間年度には、主として3ループを対象にアルゴリズムの研究とプログラム開発を行った。当該年度には、4ループ、5ループまでのファインマン積分を、我々の開発する数値計算法で取り扱えるよう研究開発を進めた。5ループ積分では、積分の次数が13次元と高くなったが、積分の困難性に応じて分割を増やす最適型アプローチの積分アルゴリズムに改良することで精度良く結果を得られた。数値積分に要する計算時間については、最近の超高性能な計算機へ並列化した上でプログラムを移植し、計算時間を大幅に短縮化することに成功した。多次元積分方法も、Gauss Kronrod法、二重指数関数型積分公式による方法、準モンテカルロ法の3つを利用可能となり、それぞれの特徴を生かしてループ積分に適用し結果の精度を向上させている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
我々の数値計算法は、多次元積分と外挿法の組み合わせにより、ファインマン積分に現れる3つの発散、1）紫外発散、2）赤外発散、3）被積分関数の分母がゼロになることによる発散を取り扱っている。我々の方法では、多次元積分方法として Gauss Kronrod法、二重指数関数型積分公式による方法、準モンテカルロ法の3つが利用可能であり、それぞれの特徴を生かしてループ積分に適用している。外挿法としては、線型方程式を順次解く線形加速法と非線形加速法の2つの方法が利用可能となっている。数値積分と外挿のいずれも完全に数値的に行っており、我々が開発目標とする完全に数値的な計算法は確立されつつある。
具体的には、これまでに、3ループ／4ループ／5ループまでのファインマン積分を、我々の開発する数値計算法で取り扱えるようになってきた。5ループ積分では、積分の次数が13次元と高くなったが、積分アルゴリズムを最適型に改良することで精度向上を実現できた。数値積分に要する計算時間については、最近の超高性能な計算機へ我々のプログラムを並列化した上で移植することにより大幅に短縮化することに成功している。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究課題の最終年度となる2020年度には、これまでに得た研究成果の発表と成果のまとめの作業を行う。並行して、2019年度より継続して進めている電弱相互作用でのHiggs粒子の2点関数の高次補正計算を進めていく。これは、2ループの場合であっても、3082個のファインマン・グラフが対象となる大規模な計算である。特にカウンター項の解析的な取り扱いと我々の数値計算法とを組み合わせて発散の相殺について考察することは、我々が開発する数値計算法の応用として興味深いテーマである。
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| Causes of Carryover |
我々は、日本物理学会、日本応用数理学会および関連する国際会議で本研究で得られた成果を複数回報告し複数の査読付きの論文を出版してきた。当該国際会議の開催が2018年度末に集中したため、2019年度には関連する国際祭儀の開催はなかった。このため、これまでの成果に加えてさらに幅広い種類のファインマン積分に我々の方法を適用した結果を、2020年度に開催予定の国際会議等で発表し論文にまとめることを目指して研究期間を延長するよう申請書を提出し承認を受けた。次年度使用額の495,457円は、本研究の成果発表のための旅費および参加登録料と論文の作成および成果のまとめを保存するために用いる物品（パーソナルコンピュータおよび補助記憶装置等）の購入に充てる計画である。
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