2017 Fiscal Year Research-status Report
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17K05567
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
堀 健太朗 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 教授 (30535042)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | ゲージ理論 / Dブレーン / テータ角 / 射影表現 / 平坦中心拡大 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究実施計画の中心をなすのが2次元(2,2)超対性ゲージ理論におけるサイバーグ双対性のもとでのDブレーンの対応関係を決定することであるが、これを実行するために必要なのが「2次元ゲージ理論を境界を持つ面上に定式化するとき、境界上の自由度はゲージ変換のもとでどの様に変換されるか？」を理解することである。
平成29年度はほぼこの問題に集中し、超対称性を持つとは限らない一般の2次元ゲージ理論において、『境界上の自由度はゲージ群の平坦射影表現でテータ角と適合的なものをなす』という結果を得た。これはもう少し詳しく言うと次のようになる。2次元ゲージ理論は「テータ角」と呼ばれるトポロジカルなデータを持つが、それはゲージ群Gの分類空間EGのU(1)係数2次コホモロジー類と一対一の関係にあり、さらにそれはGのU(1)による平坦な中心拡大と一対一の関係にある。境界上の自由度はそのような中心拡大の表現をなす、というのが主結果である。これはGが有限群の場合に知られていたこと、すなわち『2次元オービフォールド理論における境界上の自由度はオービフォールド群の射影表現で離散トーションと適合的なものをなす』を一般のコンパクト・リー群Gへ拡張したものを与えている。
この結果を(2,2)超対性を持つゲージ理論に当てはめることにより、「チャン・パトン表現に対する次数制限即」を境界上の平坦射影表現に対するものとして正確に議論することができるようになった。平成29年度には物質表現が「対称的」なる条件を満たす理論において次数制限即を簡潔な形で表すことに成功した。その結果は数学者（シュペンコとファンデンバーグ）が「商特異点の非可換クレパント解消」として提唱した平坦射影表現の集合と一致することがわかった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
「研究実績の概要」で述べた通り、平成29年度で行った研究は「サイバーグ双対性のもとでのDブレーンの対応関係」のための準備に位置付けられるものであり、その目的に向かっての着実な進歩ではあるが、他の課題に手をつけられていない事実と照らし合わせても、「やや遅れている」と自己評価すべきかもしれない。その理由としては分類空間のトポロジーや平坦中心拡大との関係などについての数学的事実を明らかにするために想定以上の学習や研究が必要であったことがあげられる。ただ、当初の計画を実現できていないという点からすると「遅れ」ではあるが、新たな数学的事実が明らかになったこと、得られた結果が超対称理論の枠内に収まらない一般の理論に関するものであること、など計画では想定していなかった進展があったことも事実である。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの準備的な研究をもとに、いよいよ「サイバーグ双対性のもとでのDブレーンの対応関係を明らかにする」という主目的の一つを達成させたい。また、この準備的研究は超対称理論の枠内に収まらない一般の理論に関する部分を含んでいる。トポロジカルなデータが理論に及ぼす影響については物性理論や純粋数学、特に「対称性によって保護されたトポロジカル相」の研究において近年盛んに議論されている。これらを参考に、この研究を発展させる新たな方向を探りたい。
「計画」に掲げてはいたが手をつけられなかった課題、すなわちミラー対称性のもとでのDブレーンの対応関係、Dブレーンの安定性条件、3，4次元のゲージ理論の双対性のもとでの境界条件の対応関係、についても着手したい。
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| Causes of Carryover |
計画では「サイバーグ双対性のもとでのDブレーンの対応関係」について議論するためJ. RennemoもしくはE. Segalを本研究費を用いて招待する予定であったが、Segalが別の財源を用いて私の研究機関を訪問してくれたので、その分が浮くことになった。Segalとの議論は大いに役に立ったが、ゲージ群が直行群に関する研究を進めているRennemoとの議論がやはり必要であることも明らかになった。本年度はRennemoを招待することにより、本研究に役立てたい。また、「商特異点の非可換クレパント解消」や「カテゴリカルなGIT商」を研究する数学者(S. Spenko, M. Van Den Bergh,D. Halpern-Leistnerなど)も招待したい。
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