2021 Fiscal Year Research-status Report
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17K05567
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
堀 健太朗 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 教授 (30535042)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 線形シグマ模型 / Dブレーン / 双対性 / 次数制限則 / モノドロミー / 強結合相 / カラビ・ヤウ多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ゲージ化された線形シグマ模型(GLSM)におけるDブレーンを解析することにより、これまで手の届かなかった「非幾何学相」や「強結合相」における超弦理論の基本的な理解を得ることがこの研究の目的である。そのために、異なる相を道で繋いだときDブレーンがどのように輸送されるかを決定する「次数制限則」を得ること、また、強結合相においてDブレーンが低エネルギーでどのように振舞うかを理解すること、が重要である。特異点を周回する道に沿ってDブレーンを輸送する効果を示す「モノドロミー」を決定しそれを幾何学的に表現すること、も課題の一部である。特に、弱結合相と強結合相の二つの相を持ち、共に3次元カラビ・ヤウ多様体を的とするシグマ模型が低エネルギーで現れるようなGLSMにおいてこれらを実行することが課題であった。平成29年度から令和2年度にかけて、そのようなGLSMの二つの例(Rodland模型及びMiura模型)におけるDブレーンを研究し、次数制限則を得ることに成功し、また、Rodland模型においては弱結合相に基点を持つ道に沿ってのモノドロミーを幾何学的に表現することも成功している。
令和3年度はRodland模型において、強結合相に基点を持つ道に沿ってのモノドロミーを幾何学的に表現することに成功した。そのために強結合と弱結合が入れ替わるサイバーグ双対性を用いた。特に、令和元年度に得ていたRodland模型のサイバーグ双対理論における次数制限則が鍵となった。まず、双対理論の強結合相において空となるブレーンを同定し、これと令和元年度の次数制限則を組み合わせて、双対理論の弱結合相(元の理論の強結合相)に基点を持つ道に沿ってのモノドロミーを得た。さらに、その強結合相で空となるブレーンが弱結合相において低エネルギーでどのように振舞うかを理解することでモノドロミーを幾何学に表現することに成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
「研究実績の概要」で述べたようにDブレーンの輸送に関する次数制限則及びモノドロミーを得る方法の開発には成功しているが、本研究のもう一つの課題である「サイバーグ双対性のもとでのDブレーンの対応関係」については研究が滞っている。これを実行するために必要なのが、「2次元ゲージ理論を境界を持つ面上に定式化するとき、境界上の自由度はゲージ変換のもとでどのように変換するか？」を理解することである。これについてはボゾニックな理論においては完全な理解を得ているが、それをフェルミオニックな理論に拡張することがまだ成功していない。理由としてはそのために必要な代数的位相幾何学をはじめとする数学的知識を得るために想定以上の時間がかかっていることがあげられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
先ず、Miura模型においてもサイバーグ双対理論における次数制限則を決定すること、強結合相に基点を持つ道に沿ってのモノドロミーを幾何学的に表現すること、を行う。さらに、Rodland模型とMiura模型で開発した方法が他の模型でも適用できるか調べ、一般的な方法として確立することを目指す。また、フェルミオニックなゲージ理論における境界上の自由度のゲージ変換性についての完全な理解を目指し、それをもとに「サイバーグ双対性のもとでのDブレーンの対応関係を明らかにする」という目的を達成したい。さらに、得た対応関係を用いてGLSMの強結合相におけるDブレーンの幾何学的な意味を理解したい。また、得られた結果をまとめ、論文として発表する。
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| Causes of Carryover |
計画では、サイバーグ双対性のもとでのDブレーンの対応関係を議論するためにJ. Rennemoと、代数幾何学における射影双対性とサイバーグ双対性の関係を議論するためにA. Kuznetsov及びN.C. Leungと議論するつもりであったが、準備的研究に想定以上の時間がかかっているため、実行することができなかった。今年度は、上記の研究課題についてRennemo, Kuznetsov, LeungのほかE. Segalと、また、Rodland模型やMiura模型の研究の推進と論文の執筆のためにR. Eager, J. Knapp, M. Romoを含む共同研究者と、議論する予定である。繰越金はこれらの通信を円滑に行うために使用するつもりである。また、ゲージ理論における境界上の自由度を理解するために代数的位相幾何学の理解を強化する必要があり、繰越金はそれに関する書籍の購入にも使用したい。
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Research Products
(2 results)
