2017 Fiscal Year Research-status Report
Entanglement Structure Analysis of Non-Uniform Systems by Tensor Network Formulation
| Project/Area Number |
17K05578
|
|---|
| Research Institution | Kobe University |
|---|
Principal Investigator |
西野 友年 神戸大学, 理学研究科, 准教授 (00241563)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
|
| Keywords | テンソルネットワーク / 繰り込み群 / フラクタル / 非一様 / 相転移 / エンタングルメント / 特異値分解 / 臨界指数 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
一様ではない格子上の古典および量子系の解析を目的として、まずフラクタル格子上の系について、テンソルネットワーク手法による状態解析を行った。古典系では、ハウスドルフ次元が１以上２以下である、シェルピンスキー・カーペット上のイジング模型を研究対象とした。この格子上で、高次特異値分解(HOTRG)を再帰的に用いる方法について検討した結果、対角線方向に系を分解すれば、必要な計算量を大きく抑えられることが判明した。これに基づいて、数値的に繰り込み群計算を行ったところ、自由エネルギーから求めた比熱の振る舞いから、系は２次相転移を起こすことがわかった。ボンド毎にエネルギーを測定し、各ボンドからの比熱の寄与を観察したところ、その振る舞いは場所によって異なるものであった。フラクタル格子は、ブロックが再帰的に結合したものであるが、ボンド比熱が最も強い特異性を示したサイトは巨大なブロック同士を接続する部分であった。系の非一様性は自発磁化にも現れ、系の内部でサイトが密集した部分は相転移温度付近で磁化が急増し、ブロックを接続する部分の特異性は弱いものであった。これらの事実より、シェルピンスキー・カーペット上ではまず小さなブロックから秩序化が始まり、系全体を接続する部分まで相関が及んだ時点で、相転移を起こすという描像を得ることができた。量子系では、三角格子に穴を開けた形を持つ、シェルピンスキー・ガスケット上の横磁場イジング模型を、トロッター・鈴木分解により３次元的な古典格子模型にマップすることによって、高次特異値分解を用いたテンソルネットワーク手法により解析した。この系は、シェルピンスキー・カーペットに比べると結合が疎であり、古典イジング模型は相転移を示さないが、量子系である横磁場イジング模型は相転移を起こすことを確認した。以上の通り、系のフラクタル性は臨界現象に非自明な影響を与えている。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
様々なバリエーションが考えられる非一様系のうち、格子の形状そのものが非一様であるフラクタル格子上の物理系をテンソルネットワーク形式で取り扱う方法については、高次特異値分解を用いることが有効であることを実証できた。観測される臨界現象は、格子のフラクタル次元よりも、ブロック間の結合のボンド数に、より強く影響されることが、これまでの計算結果より示唆されている。この傾向を、より定量的に調べて行くことを新たな目標として、構造が異なるフラクタルをシステマティックに生成する方法について検討している所である。これらの研究成果を公表する作業を現在進めている。フラクタル系は、反転対称性などについて、一様系の持つ性質を受け継いでいる。これと対比する形で進めて来た、完全にランダムなスビン系である、２次元 +-J イジング模型の、行列積状態を用いた解析については、スーパーコンピューターを用いて計算規模を拡大することにより、エンタングルメント・エントロピーが示す特異性について、より精密な解析を行うことができた。結果は既にプレプリントとして公開しているが、出版に向けての取りまとめを、今後行なって行く。このランダム系について、当初予定していた、行列積状態から木構造テンソルネットワークへの変換については、計算量の問題から、まだ試験的な考察の段階を脱していない。より少ない計算量で、異なる構造のテンソルネットワークへの変換を行う手法について、継続して検討して行きたい。並行して行なっている、一様系の相転移解析では、離散ハイゼンベルグモデルの一つである、１２面体模型の相転移を、角転送行列繰り込み群を用いて解析した。サイト自由度が１２と多いことから、この模型はクロック模型のようにコスタリッツ・サウレス転移を起こす可能性もあるが、非自明な臨界指数を持つ２次転移であることが強く示唆されている。数値解析を継続したい。
|
| Strategy for Future Research Activity |
２次元格子に穴を開ける形で作られるフラクタル格子上のイジング模型では、相転移温度で比熱が極大とならない。この奇妙な性質を物理的に理解する目的で、自由度を絞った実空間繰り込み群や、半定量的な論理形式の構築について、まず検討して行く。行列積状態から木構造への変換については、必要な計算をなるべく局所的に限定できるよう計算手順を見直し、計算量を現実的なものに抑える工夫について、更に検討して行きたい。また、系のエンタングルメント構造を木構造に反映することが計算精度の向上に重要である事から、行列積状態のどこから木構造化して行くか、その順番についても検討して行く。相転移の一端を把握できた、正方格子上の１２状態・離散ハイゼンベルグ模型については、その非自明な臨界指数の由来を探って行く。離散ハイゼンベルグ模型は、これまで正多面体模型を中心に研究されて来たが、対象を少し広げ、準正多面体模型などについても角転送行列くりこみ群を用いた数値解析を行い、同様に非自明な臨界指数を得るかどうか、確かめて行く。また、大規模数値計算的を目的とした挑戦として、サイト自由度が２０である、正２０面体模型を取り扱い得る計算手段についても検討したい。数理物理的な興味から、内部空間が４次元球で表現される離散多自由度模型についての相転移解析にも新たに着手できればと考えている。３次元の正多面体に対応する、４次元の正多胞体は 5, 8, 16, 24, 120, 600 の６種類あり、24自由度までは現在の計算能力で、定量解析に手が届くと思われる。120, 600 自由度の系については、サイト自由度そのものを小さく繰り込んでしまうことが必須であり、その手法について検討して行く。また、角転送行列繰り込み群の、臨界領域での安定な計算方法も検討したい。以上取り上げたそれぞれの目標へ向け、研究を推進して行く。
|
